Questões Sobre Conservação de Energia Mecânica - Física - 1º ano do ensino médio

Analisando cada afirmativa, obtemos :

a) Falso. Em uma colisão elástica a energia conservada é a energia cinética do sistema (total).

b)Falso. Na colisão elástica o momento linear conservado é o total.

c)Verdadeiro. Como dito na resposta da alternativa A e B.

d) Falso. Não pode-se afirmar isto, sem o conhecimento das massas das bolas de bilhar e suas respectivas velocidades iniciais.

e) Falso. A energia cinética total também é conservada.

Alternativa C é a correta.

O sistema descrito pela questão é conservativo, logo, podemos aplicar o teorema da conservação da energia. Quando o fio não está esticado, a energia potencial é igual a energia cinética (para o corpo de massa mo) => mo.g.Ho=1/2 .moVo² . Isolando: Vo²=2gHo . Quando o fio está esticado temos : MgH + mogHo= MgH + 1/2MV² + 1/2moV² , simplificando temos : mogHo=+ 1/2MV² + 1/2moV² (I). Como M=3mo, vamos substituir esse dado na equação (I) : moHo= 3/2moV² + 1/2moV² . Isolando : V²=gHo/2 . Dividindo V²/Vo², temos : V=Vo/2. Logo a resposta correta é a letra C.

Vamos calcular a razão h/R e verificar se condiz com alguma das alternativas apresentadas.

A altura alcançada pelo objeto no primeiro lançamento pode ser calculada usando o princípio de conservação da energia mecânica.

E_i = E_f
Donde E_i é a energia mecânica inicial e E_f é a energia mecânica final. 

E = K + U
Donde E é a energia mecânica, K é a energia cinética e U é a energia potencial gravitacional.

K_i + U_i = K_f + U_f 
Donde i e f representam respectivamente o momento inicial e final. O momento inicial é aquele em que a esfera abandona o aparelho, enquanto o final é quando ela está na altura máxima (h). Sendo assim, temos que a energia cinética final é nula, enquanto a energia potencial gravitacional inicial é nula. Logo:

K_i = U_f

K = mv²/2         e           U = mg'h
Donde K é a energia cinética, m é a massa, v é a velocidade, g é a aceleração da gravidade e h é a altura.

mv₀²/2 = mg'h => v₀²/2 = g'h => h = v₀²/2g'

Agora, vamos calcular o alcance da esfera no segundo lançamento. Para isso, vamos utilizar as seguintes equações:

No eixo x (horizontal):

dx = v₀t + at²/2
Donde dx é a distância percorrida (R), v₀ é a velocidade inicial da esfera na componente x (v₀cosθ), t é o tempo decorrido e a é a aceleração (0 m/s², note que este valor é no eixo x),

R = (v₀cosθ)t

No eixo y (vertical):

dy =  v₀t + at²/2
Donde dy é a variação da altura (0 m, note que a posição vertical inicial e final são as mesmas), v₀ é a velocidade inicial (v₀senθ), t é o tempo decorrido e a é a aceleração (-g').

0 = (v₀senθ)t - g't²/2 => g't²/2 = (v₀senθ)t => t = 2(v₀senθ)/g'

Substituindo este valor na expressão referente a distância horizontal, temos:

R = (v₀cosθ)(2(v₀senθ)/g') = 2v₀²senθcosθ/g' = v₀²sen2θ/g'

Fazendo a razão h/R, temos:

h/R = (v₀²/2g')/(v₀²sen2θ/g') = 1/(2sen2θ) 

O ângulo cujo resultado é o maior alcance possível é 45°. Logo,

h/R = 1/(2*sen(2*45°)) = 1/2

Valor condizente com a alternativa E), mas além disso, a alternativa também traz uma outra afirmação. De fato R e h serão diferentes conforme a aceleração da gravidade, podemos ver esta dependência nas expressões acima. Porém, a razão de tais valores é constante, como mostrado acima. 

Alternativa E) 

Para resolver este exercício vamos usar o princípio da conservação de energia.

A energia potencial elétrica é dada pela seguinte equação:

U_e = kq_Aq_B/r
Donde U_e é a energia potencial elétrica, q_A é a carga de uma das partículas, q_B é a carga da outra partícula, k é a constante eletrostática no vácuo e r a distância entre as partículas.

A outra energia a ser considerada neste evento é a energia cinética:

E_c = mv²/2
Donde E_c é a energia cinética, m é a massa e v é a velocidade

No início, temos que a energia mecânica (soma da energia cinética com a potencial) é dada da seguinte forma:

E_i = kq_Aq_B/r_i + m_Av_i²/2
Lembre-se que a partícula B se encontra em repouso.

Já no fim, temos:

E_f = kq_Aq_B/r_f + m_Av_f²/2

Pela conservação de energia, devemos ter E_i = E_f, logo:

E_i = E_f =>  kq_Aq_B/r_i + m_Av_i²/2 = kq_Aq_B/r_f + m_Av_f²/2 =>  kq_Aq_B/r_i - kq_Aq_B/r_f = m_Av_f²/2 - m_Av_i²/2  =>
  kq_Aq_B(1/r_i - 1/r_f) = (m_A/2)(v_f² - v_i²) =>
m_A = [2kq_Aq_B(1/r_i - 1/r_f)]/(v_f² - v_i²)

Com isso, temos que a alternativa correta é A)

Nesse caso, há conservação da quantidade de movimento do sistema, ou seja, e energia inicial e final são iguais:

$$\begin{gathered} {\mathrm{m}}_1 . {\mathrm{v}}_{0_1} + {\mathrm{m}}_2 . {\mathrm{v}}_{0_2} = {\mathrm{m}}_1 . {\mathrm{v}}_{{\mathrm{f}}_1} + {\mathrm{m}}_2 . {\mathrm{v}}_{{\mathrm{f}}_2} \\ \mathrm{onde}: \\ {\mathrm{v}}_{0_1} = {\mathrm{v}}_0 \\ {\mathrm{v}}_{0_2} = 0 \\ {\mathrm{v}}_{{\mathrm{f}}_1} = {\mathrm{v}}_{{\mathrm{f}}_2}= \frac{3{\mathrm{v}}_0}{4} \end{gathered}$$

Como a massa específica é igual à massa vezes o volume:
$p = \mathrm{m} . \mathrm{V}$
Temos:
${\mathrm{m}}_1.{\mathrm{v}}_{0_1}+0=({\mathrm{m}}_1+{\mathrm{m}}_2 ) . \frac{3{\mathrm{v}}_0}{4}$$p_1.{\mathrm{V}}_1.{\mathrm{v}}_0 = ({\mathrm{p}}_1.{\mathrm{V}}_1+{\mathrm{p}}_2.{\mathrm{V}}_2 ) . \frac{3{\mathrm{v}}_0}{4}$
Como V₁ = V_2:
$$\begin{gathered} p_1{\mathrm{V}}_1{\mathrm{v}}_0={\mathrm{p}}_1{\mathrm{V}}_1\frac{3{\mathrm{v}}_0}{4}{\mathrm{p}}_2{\mathrm{V}}_2\frac{3{\mathrm{v}}_0}{4} \\ {p}_1{\mathrm{V}}_1{\mathrm{v}}_0={\mathrm{V}}_1 p_1\frac{3}{4}{p}_2\frac{3}{4}) \end{gathered}$$
Então:
$p_1 = ({\mathrm{p}}_1+{\mathrm{p}}_2) . \frac{3}{4}$
$p_1 = \frac{3}{4}{p}_1 + \frac{3}{4}{p}_2$
$\frac{p_1 }{4}= \frac{3}{4}{p}_2$
$p_2 = \frac{{\mathrm{p}}_1}{3}$

Logo a alternativa correta é a alternativa E.

Vamos analisar cada uma das afirmações e verificar a sua veracidade.

A afirmação 1) é FALSA. A força gravitacional é dada pela seguinte fórmula:

F_g = GM₁M₂/d²
Donde F_g é a força gravitacional, G é constante gravitacional universal, M₁ é a massa de um dos corpos, M₂ é a massa do outro corpo e d é a distância entre eles (planeta e satélite). Observação: Estamos trabalhando com o módulo da força gravitacional.

No caso do satélite B temos que a força gravitacional é sempre a mesma, porém no caso do satélite A que tem sua trajetória na forma de uma elipse, temos que a distância nem sempre é a mesma, e com isso a força também varia.

A afirmação 2) é VERDADEIRA. A energia potencial gravitacional é dada pela seguinte fórmula:

U = GM₁M₂/d
Donde U é a energia potencial gravitacional, G é constante gravitacional universal, M₁ é a massa de um dos corpos, M₂ é a massa do outro corpo e d é a distância entre eles. Observação: Estamos trabalhando com o módulo da energia potencial gravitacional.

A distância entre os dois satélites variam, e com isso a sua energia potencial gravitacional também.

A afirmação 3) é FALSA. Note que existem apenas as duas energias envolvidas no sistema, a energia potencial gravitacional e a energia cinética. No caso do satélite B, como a energia potencial gravitacional varia, temos que a energia cinética deve compensá-la, e assim, esta varia também. 

Alternativa B)

Para resolver o problema, precisamos utilizar a conservação da energia mecânica. Inicialmente, do ponto mais alto da trajetória até o mais baixo, antes de se chegar à mola, temos a seguinte igualdade:

 

Como não estamos interessados em descobrir a velocidade do corpo na posição mais baixa, podemos calcular o valor da energia potencial gravitacional apenas:

 

 

Igualando essa energia a energia potencial elástica da mola:

 

Logo, a opção correta é a letra "B".

 

 

 

 

Como as forças que agem neste exercício são conservativas, temos que há conservação da energia total do sistema. Portanto, no instante que o skate se encontra na parte AB a sua energia é:

Sendo o instante final o momento em que o skate se encontra na parte CD da rampa, o mesmo tem um energia igual a:

Portanto, pela conservação de energia temos:

Substituindo os valores dado no problema, tem-se:

Para o momento do skate chegar a altura máxima, a velocidade neste ponto será zero, logo a energia final neste ponto será:

Pela conservação de energia, temos que:

Substituindo os valores do enunciado, tem-se:

$v=4m/s g=10m/s² h=2,4m$
$h_f=\frac{4²}{2\times 10}+2,4=3,2m$

Portanto, a resposta correta é a alternativa E.

O problema pode ser resolvido pelo teorema da conservação da energia, onde a energia mecânica inicial é igual a energia mecânica finaL : Ec_i+Ep_i=Ec_f+Epf. Dados: v_o=4m/s, g=10m/s², r=3m, h=? .  Substituindo na equação => 1/2m(4)² + mg₍₀₎ = mgh . Dividindo ambos os lados por m e isolando h => h=8/10= 0,8m . A resposta correta é a letra A.

Pelo Teorema da Conservação da Energia, temos que :

 

E_{cinética inicial A}+ E_{cinética inicial B} = E_{cinética final A}+ E_{cinética final B}

 m.V_A²/2 + 0 = 0 + E_{cinética final B}

 E_{cinética final B} = 4.2²/2

E_{cinética final B} = 8J

 

Alternativa correta é a letra D.