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Um sistema mecânico que consiste de um pequeno tubo com uma mola consegue imprimir a uma esfera e massa m uma velocidade fixa v0. Tal sistema é posto para funcionar impulsionando a massa na direção vertical, a massa atingindo a altura máxima h e voltando a cair. Em seguida o procedimento é efetuado com o eixo do tubo formando um determinado ângulo com a direção horizontal de modo que o alcance R nesta direção seja maximizado. Tais situações estão representadas na figura a seguir.
Os experimentos ocorrem em um local onde a aceleração da gravidade g′ é um pouco menor que seu valor na superfície terrestre g= 9,8m/s2. Baseado nesses dados e concordando com expressões cinemáticas para os movimentos de queda livre e lançamento oblíquo, é correto afirmar:
- A) A razão
obedecerá a relação
- B) A razão
obedecerá a relação
- C) A razão
obedecerá a relação
- D) A distância R a ser alcançada pela massa será a mesma que se obteria em um experimento na superfície terrestre porque tal quantidade só depende do valor da componente horizontal da velocidade v0cos(θ).
- E) R e h serão diferentes de seus valores obtidos em experimentos realizados na superfície mas a relação
se manterá porque esta independe do valor local da aceleração da gravidade.
Resposta:
A alternativa correta é letra E
Vamos calcular a razão h/R e verificar se condiz com alguma das alternativas apresentadas.
A altura alcançada pelo objeto no primeiro lançamento pode ser calculada usando o princípio de conservação da energia mecânica.
Ei = Ef
Donde Ei é a energia mecânica inicial e Ef é a energia mecânica final.
E = K + U
Donde E é a energia mecânica, K é a energia cinética e U é a energia potencial gravitacional.
Ki + Ui = Kf + Uf
Donde i e f representam respectivamente o momento inicial e final. O momento inicial é aquele em que a esfera abandona o aparelho, enquanto o final é quando ela está na altura máxima (h). Sendo assim, temos que a energia cinética final é nula, enquanto a energia potencial gravitacional inicial é nula. Logo:
Ki = Uf
K = mv²/2 e U = mg'h
Donde K é a energia cinética, m é a massa, v é a velocidade, g é a aceleração da gravidade e h é a altura.
mv0²/2 = mg'h => v0²/2 = g'h => h = v0²/2g'
Agora, vamos calcular o alcance da esfera no segundo lançamento. Para isso, vamos utilizar as seguintes equações:
No eixo x (horizontal):
dx = v0t + at²/2
Donde dx é a distância percorrida (R), v0 é a velocidade inicial da esfera na componente x (v0cosθ), t é o tempo decorrido e a é a aceleração (0 m/s², note que este valor é no eixo x),
R = (v0cosθ)t
No eixo y (vertical):
dy = v0t + at²/2
Donde dy é a variação da altura (0 m, note que a posição vertical inicial e final são as mesmas), v0 é a velocidade inicial (v0senθ), t é o tempo decorrido e a é a aceleração (-g').
0 = (v0senθ)t - g't²/2 => g't²/2 = (v0senθ)t => t = 2(v0senθ)/g'
Substituindo este valor na expressão referente a distância horizontal, temos:
R = (v0cosθ)(2(v0senθ)/g') = 2v0²senθcosθ/g' = v0²sen2θ/g'
Fazendo a razão h/R, temos:
h/R = (v0²/2g')/(v0²sen2θ/g') = 1/(2sen2θ)
O ângulo cujo resultado é o maior alcance possível é 45°. Logo,
h/R = 1/(2*sen(2*45°)) = 1/2
Valor condizente com a alternativa E), mas além disso, a alternativa também traz uma outra afirmação. De fato R e h serão diferentes conforme a aceleração da gravidade, podemos ver esta dependência nas expressões acima. Porém, a razão de tais valores é constante, como mostrado acima.
Alternativa E)
A altura alcançada pelo objeto no primeiro lançamento pode ser calculada usando o princípio de conservação da energia mecânica.
Ei = Ef
Donde Ei é a energia mecânica inicial e Ef é a energia mecânica final.
E = K + U
Donde E é a energia mecânica, K é a energia cinética e U é a energia potencial gravitacional.
Ki + Ui = Kf + Uf
Donde i e f representam respectivamente o momento inicial e final. O momento inicial é aquele em que a esfera abandona o aparelho, enquanto o final é quando ela está na altura máxima (h). Sendo assim, temos que a energia cinética final é nula, enquanto a energia potencial gravitacional inicial é nula. Logo:
Ki = Uf
K = mv²/2 e U = mg'h
Donde K é a energia cinética, m é a massa, v é a velocidade, g é a aceleração da gravidade e h é a altura.
mv0²/2 = mg'h => v0²/2 = g'h => h = v0²/2g'
Agora, vamos calcular o alcance da esfera no segundo lançamento. Para isso, vamos utilizar as seguintes equações:
No eixo x (horizontal):
dx = v0t + at²/2
Donde dx é a distância percorrida (R), v0 é a velocidade inicial da esfera na componente x (v0cosθ), t é o tempo decorrido e a é a aceleração (0 m/s², note que este valor é no eixo x),
R = (v0cosθ)t
No eixo y (vertical):
dy = v0t + at²/2
Donde dy é a variação da altura (0 m, note que a posição vertical inicial e final são as mesmas), v0 é a velocidade inicial (v0senθ), t é o tempo decorrido e a é a aceleração (-g').
0 = (v0senθ)t - g't²/2 => g't²/2 = (v0senθ)t => t = 2(v0senθ)/g'
Substituindo este valor na expressão referente a distância horizontal, temos:
R = (v0cosθ)(2(v0senθ)/g') = 2v0²senθcosθ/g' = v0²sen2θ/g'
Fazendo a razão h/R, temos:
h/R = (v0²/2g')/(v0²sen2θ/g') = 1/(2sen2θ)
O ângulo cujo resultado é o maior alcance possível é 45°. Logo,
h/R = 1/(2*sen(2*45°)) = 1/2
Valor condizente com a alternativa E), mas além disso, a alternativa também traz uma outra afirmação. De fato R e h serão diferentes conforme a aceleração da gravidade, podemos ver esta dependência nas expressões acima. Porém, a razão de tais valores é constante, como mostrado acima.
Alternativa E)
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