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Na modalidade esportiva do salto à distância, o esportista, para fazer o melhor salto, deve atingir a velocidade máxima antes de saltar, aliando-a ao melhor ângulo de entrada no momento do salto que, nessa modalidade, é 45°. Considere uma situação hipotética em que um atleta, no momento do salto, alcance a velocidade de 43,2 km/h, velocidade próxima do recorde mundial dos 100 metros rasos, que é de 43,9 km/h. Despreze o atrito com o ar enquanto ele está em “vôo” e considere o saltador como um ponto material situado em seu centro de gravidade. Nessas condições, qual seria, aproximadamente, a distância alcançada no salto? Adote o módulo da aceleração da gravidade igual a 10m/s2.
Dados: sen45° = cos45° = 0,7
https://sites.google.com/site/edfisicaempic/educacao-fisica-corpo-e-mente/atletismo
- A) 7m
- B) 10m
- C) 12m
- D) 14m
Resposta:
A alternativa correta é letra D
Para o movimento oblíquo, conhecemos o alcance máximo do corpo, que é dado pela expressão:
x = v0²*sen(2θ)/g
Donde x é a distância, v0 é a velocidade inicial, θ é o ângulo de entrada no momento do salto e g é a aceleração da gravidade.
Mas, vamos deduzir esta expressão, a partir da decomposição do movimento na abscissa (x) e na ordenada (y).
Eixo y (vertical):
Note que neste eixo o atleta está sujeito a desaceleração imposta pela aceleração da gravidade, e a componente de sua velocidade neste eixo é v0*sen(θ). Escrevendo a equação de movimento para o corpo, nestas condições temos:
y - y0 = vit - gt²/2
Donde y é a posição final do corpo, y0 a posição inicial, vi a velocidade inicial, t é o tempo decorrido e g é a aceleração da gravidade.
Como o atleta retorna ao chão, temos que sua posição final e inicial com respeito a esse eixo são iguais, o que resulta no lado esquerdo ser zero. Logo:
0 = v0*sen(θ)t - gt²/2 => Dividindo ambos os lados por t (este é diferente de zero), temos:
v0*sen(θ) - gt/2 = 0 => v0*sen(θ) = gt/2 =>
t = 2v0*sen(θ)/g (1)
Eixo x:
Note que não temos uma desaceleração atuando neste eixo, logo:
x - x0 = vit - at²/2 (2)
Donde x é a posição final do corpo (a variável que nos interessa), x0 a posição inicial (vamos tomar como 0), vi = v0*cos(θ), t é o tempo decorrido, a é a aceleração (a = 0).
x = v0*cos(θ)*t
Substituindo (1) em (2) temos:
x = v0*cos(θ)*2v0*sen(θ)/g = v0²(2cos(θ)sen(θ))/g
Temos que
2cos(θ)sen(θ) = sen(2θ)
x = v0²(sen(2θ))/g
Antes de substituir os valores na expressão encontrada, vamos converter a velocidade de km/h para m/s.
1000 m = 1 km
1 h = 3600 s
1 km/h = (10³ m)/(3600 s) = (1/3,6) m/s
1 km/h = (1/3,6) m/s
43,2 km/h = z
Fazendo uma regra de três temos:
z(1 km/h) = [(1/3,6) m/s](43,2 km/h) => z = 12 m/s
Substituindo os valores conhecidos na expressão temos:
x = (12 m/s)²(sen(2*45°))/(10 m/s²) ≈ 14 m
Alternativa D)
x = v0²*sen(2θ)/g
Donde x é a distância, v0 é a velocidade inicial, θ é o ângulo de entrada no momento do salto e g é a aceleração da gravidade.
Mas, vamos deduzir esta expressão, a partir da decomposição do movimento na abscissa (x) e na ordenada (y).
Eixo y (vertical):
Note que neste eixo o atleta está sujeito a desaceleração imposta pela aceleração da gravidade, e a componente de sua velocidade neste eixo é v0*sen(θ). Escrevendo a equação de movimento para o corpo, nestas condições temos:
y - y0 = vit - gt²/2
Donde y é a posição final do corpo, y0 a posição inicial, vi a velocidade inicial, t é o tempo decorrido e g é a aceleração da gravidade.
Como o atleta retorna ao chão, temos que sua posição final e inicial com respeito a esse eixo são iguais, o que resulta no lado esquerdo ser zero. Logo:
0 = v0*sen(θ)t - gt²/2 => Dividindo ambos os lados por t (este é diferente de zero), temos:
v0*sen(θ) - gt/2 = 0 => v0*sen(θ) = gt/2 =>
t = 2v0*sen(θ)/g (1)
Eixo x:
Note que não temos uma desaceleração atuando neste eixo, logo:
x - x0 = vit - at²/2 (2)
Donde x é a posição final do corpo (a variável que nos interessa), x0 a posição inicial (vamos tomar como 0), vi = v0*cos(θ), t é o tempo decorrido, a é a aceleração (a = 0).
x = v0*cos(θ)*t
Substituindo (1) em (2) temos:
x = v0*cos(θ)*2v0*sen(θ)/g = v0²(2cos(θ)sen(θ))/g
Temos que
2cos(θ)sen(θ) = sen(2θ)
x = v0²(sen(2θ))/g
Antes de substituir os valores na expressão encontrada, vamos converter a velocidade de km/h para m/s.
1000 m = 1 km
1 h = 3600 s
1 km/h = (10³ m)/(3600 s) = (1/3,6) m/s
1 km/h = (1/3,6) m/s
43,2 km/h = z
Fazendo uma regra de três temos:
z(1 km/h) = [(1/3,6) m/s](43,2 km/h) => z = 12 m/s
Substituindo os valores conhecidos na expressão temos:
x = (12 m/s)²(sen(2*45°))/(10 m/s²) ≈ 14 m
Alternativa D)
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