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Um ciclista descreve uma volta completa em uma pista que se compõe de duas retas de comprimento L e duas semicircunferências de raio R conforme representado na figura a seguir.
A volta dá-se de forma que a velocidade escalar média nos trechos retos é ![ϑ]()
e nos trechos curvos é 
. O ciclista completa a volta com uma velocidade escalar média em todo o percurso igual a 
A partir dessas informações, é correto afirmar que o raio dos semicírculos é dado pela expressão:
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
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Resposta:
A alternativa correta é letra A
A velocidade média é dada pela seguinte fórmula:
vm = dx/dt
Donde vm é a velocidade média, dx é a distância total percorrida e dt é o tempo total decorrido.
Para encontrar a relação dada vamos usar a expressão acima, mas para isso precisamos saber o tempo total decorrido e a distância total percorrida.
Distância total percorrida:
Como o ciclista dá uma volta inteira temos que ele percorre duas vezes o segmento L e 2 vezes o segmento referente a meia circunferência.
dx = 2*L + 2*(πR) = 2L + 2πR
Tempo total decorrido:
o tempo é dado pela seguinte expressão:
v = x/t => t = x/v
Donde v é a velocidade, x é a distância percorrida e t é o tempo decorrido.
Para o segmento de reta temos:
t = L/v
Para a semi-circunferência temos:
t' = πR/(2v/3) => t' = 3πR/2v
Sendo assim, o tempo total é:
dt = 2*L/v + 2*3πR/2v = 2L/v + 3πR/v = (2L + 3πR)/v
Logo, temos:
vm = dx/dt => 4v/5 = (2L + 2πR)/((2L + 3πR)/v)
=> 4/5 = (2L + 2πR)/((2L + 3πR) => 4*(2L + 3πR) = 5*(2L + 2πR) => 8L + 12πR = 10L + 10πR =>2L = 2πR => L = πR
Alternativa A)
vm = dx/dt
Donde vm é a velocidade média, dx é a distância total percorrida e dt é o tempo total decorrido.
Para encontrar a relação dada vamos usar a expressão acima, mas para isso precisamos saber o tempo total decorrido e a distância total percorrida.
Distância total percorrida:
Como o ciclista dá uma volta inteira temos que ele percorre duas vezes o segmento L e 2 vezes o segmento referente a meia circunferência.
dx = 2*L + 2*(πR) = 2L + 2πR
Tempo total decorrido:
o tempo é dado pela seguinte expressão:
v = x/t => t = x/v
Donde v é a velocidade, x é a distância percorrida e t é o tempo decorrido.
Para o segmento de reta temos:
t = L/v
Para a semi-circunferência temos:
t' = πR/(2v/3) => t' = 3πR/2v
Sendo assim, o tempo total é:
dt = 2*L/v + 2*3πR/2v = 2L/v + 3πR/v = (2L + 3πR)/v
Logo, temos:
vm = dx/dt => 4v/5 = (2L + 2πR)/((2L + 3πR)/v)
=> 4/5 = (2L + 2πR)/((2L + 3πR) => 4*(2L + 3πR) = 5*(2L + 2πR) => 8L + 12πR = 10L + 10πR =>2L = 2πR => L = πR
Alternativa A)
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