Questões Sobre Função do 1º Grau - Matemática - 1º ano do ensino médio

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1) Se f(x) é a função real de variável real, tal que f(9x–4) = x, qualquer que seja x, então [ 3 · f(x) – 1/3 ] é igual a

A) x + 4.
B) x + 3.
C) x + 1.
D) x + 1/3.
E) x/3 + 1.

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A alternativa correta é letra E

A questão exige conhecimentos sobre funções e boa capacidade de manipulação algébrica.

Queremos saber o valor de [ 3 . f(x) - 1/3 ] e sabemos apenas que f(9x - 4) = x.

Para descobrir o valor de f(x), vamos utilizar a variável auxiliar w = 9x - 4. Então temos:

w = 9x - 4

\Leftrightarrow

x = (w + 4) / 9

donde

f(w) = (w + 4) / 9

Finalmente,

[ 3 . f(w) - 1/3 ] = 3 . [ (w + 4)/9 ] - 1/3

\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

[ 3 . f(w) - 1/3 ] = (3w /9) + (12/9) - 1/3

\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

[ 3 . f(w) - 1/3 ] = (w/3) + (4/3) - 1/3

\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

[ 3 . f(w) - 1/3 ] = w/3 + 1

Portanto, alternativa E.

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2) A figura representa a participação da área plantada com cana-de-açúcar para a produção de etanol no total de terras aráveis do Brasil. Sabe-se que a soma da área de terras aráveis não plantadas com a área total plantada (sombreada na figur

A) é igual a 360 milhões de hectares, e que 1/20 da área plantada mais 1/100 da área arável não plantada são 6,48 milhões de hectares.

(Veja,30.04.2008)
Nessas condições, pode-se concluir que a área plantada com cana-de-açúcar para produção de etanol é igual a

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A alternativa correta é letra B

Através dos dados do enunciado e considerando a área plantada como x e a área arável não plantada como y, temos:

x + y = 360 m i l h õ e s \Leftrightarrow y = 360 - x \frac{1}{20} . x + \frac{1}{100} . y = 6, 48 m i l h õ e s S u b s t i t u i n d o o s v a l o r e s e n c o t r a d o s t e m o s : \frac{1}{20} . x + \frac{1}{100} . (360 - x) = 6, 48 \frac{1}{20} . x + 3, 6 - \frac{1}{100} . x = 6, 48 \frac{x}{25} = 2, 88 x = 72 m i l h õ e s

A figura nos mostra que apenas 5% da área total plantada é de cana-de-açúcar para a produção de etanol, portanto a área plantada com cana-de-açúcar para o etanol é:

5 % . x = \frac{5}{100} . 72 = \frac{72}{20} = 3, 6 m i l h õ e s

Alternativa B é a correta.

3) Considere as funções dadas por

Considere as funções dadas por

f(x) = senπx2 e g(x) = ax + b,

sendo o gráfico de g fornecido na figura.

O valor de f (g^–1(2)) é:

A) $\frac{\sqrt{2}}{4}$
B) $\frac{1}{2}$
C) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
E) 1

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A alternativa correta é letra C

A partir do gráfico fornecido pelo enunciado, podemos calcular os coeficientes a e b da expressão para a função g(x). Sabe-se que a intersecção com o eixo y representa o coeficiente "b", e que a intersecção com o eixo x representa a raiz da função. Sendo assim, substituímos os dados:

\begin{array}{l} g (x) = a x + 1 \\ 0 = a \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 \\ - \frac{a}{2} = - 1 \\ a = 2 \end{array}

A partir dos coeficientes calculados, temos a expressão para g(x), que resulta em g(x) = 2x +1. Podemos então substituir g(x) por y e calcular a função inversa:

\begin{array}{l} y = 2 x + 1 \\ 2 x = y - 1 \\ x = \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \end{array}

Substituindo y por x e x por g^-1(x), temos que g^-1(2) é igual a:

\begin{array}{l} g^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \\ g^{- 1} (2) = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \\ g^{- 1} (2) = \frac{3}{2} \end{array}

Finalmente, temos que f(g^-1(2)) = f(3/2) vale:

\begin{array}{l} f (\frac{3}{2}) = s e n \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 2} \\ f (\frac{3}{2}) = s e n \frac{3 π}{4} \\ f (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

Alternativa C.

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4) Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), um avião se desloca, em linha reta, de O até o ponto P, mantendo sempre um ângulo de inclinação de 45º com a horizontal. A partir de P, o avião inicia trajetória parabólica, dada pela função f(x) = –x2+ 14x – 40, com x e f(x) em quilômetros. Ao atingir o ponto mais alto da trajetória parabólica, no ponto V, o avião passa a se deslocar com altitude constante em relação ao solo, representado na figura pelo eixo x.

Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V, a altitude do avião aumentou

A) 2,5 km.
B) 3 km.
C) 3,5 km.
D) 4 km.
E) 4,5 km.

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A alternativa correta é letra D

1) A abscissa do vértice V da parábola é –

fraction numerator 14 over denominator negative 2 end fraction

= 7
e a ordenada é g(7) = – 49 + 98 – 40 = 9

Logo: V(7; 9)

2) f(x) = g(x) e x < 7 ⇔x = – x²+ 14x – 40 e x < 7 ⇒x²– 13x + 40 = 0 e x < 7 ⇔x = 5

Para x = 5 temos f(5) = g(5) = 5 e, portanto, P(5; 5)

3) A altitude do avião aumentou, em quilômetros,

9 – 5 = 4.

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

5) Observe o gráfico da função f(x) e analise as afirmações a seu respeito.

I. Se x₁, x₂ ∈ Dom(f) e x₂ > x₁, então f(x₂) > f(x₁).

II. Se x > 1, então f(x) < 0.

III. O ponto (2, – 2) pertence ao gráfico de f(x).

IV. A lei de formação de f(x) representada no gráfico é dada por

f(x)=-12(x-1).

A alternativa que corresponde a todas as afirmações verdadeiras é:

A) I e III.
B) I, II e III.
C) I e IV.
D) II, III e IV.
E) II e IV.

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A alternativa correta é letra E

Resolveremos esta questão analisando o gráfico de f(x).
I .

x_{2} > x_{1} \Rightarrow f (x_{2}) < f (x_{1})

função decrescente, falsa.
II. x = 1⇒ f(x) =0;x

<

1⇒ f(x)

>

0;x

>

1⇒ f(x)

<

0, verdade. III. O ponto (2,-2) não pertence ao gráfico de f(x), falsa IV. O ponto (1,0)

\in

ao gráfico e satisfaz a f(x) dada logo, a f(x) dada , na alternativa , é a lei de formação. Verdade.
Alternativa E.

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6) As empresas ALFA e BETA alugam televisores do mesmo tipo. A empresa ALFA cobra R$ 35,00 fixos pelos primeiros 30 dias de uso e R$ 1,00 por dia extra. A empresa BETA cobra R$ 15,00 pelos primeiros 20 dias de uso e R$ 1,50 por dia extra. Após n dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser maior do que o cobrado pela empresa ALFA. O valor de n é:

A) 25
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50

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A alternativa correta é letra C

Analisando a proposta das empresas verificamos 3 momentos. Um com menos de 20 dias, outro entre 20 e 30 dias e outro após 30 dias.
Menos de 20 dias as duas empresas possuem custos fixos.
Entre 20 e 30 dias a empresa Beta aumenta seu valor, tal que, no final de 30 dias temos:

y_{B} = 1, 5 . (30 - 20) + 15 y_{B} = 30

Por fim, sabendo o valor de cada uma das empresas no dia 30 podemos calcular quando o valor vai ser igual, tal que:

y_{A} = 1 . d + 35 y_{B} = 1, 5 d + 30

Igualando:

1, 5 d + 30 = 1 d + 35 0, 5 d = 5 d = 10

Logo após mais 20 dias a empresa Beta passa a cobrar mais que a empresa Alfa
Sendo assim a quantidade total de dias(30+10=40)

Alternativa correta é a Letra C

7) No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, 4) intercepta a reta de equação x – 3y = 1 no ponto P. A soma das coordenadas de P é:

A) $- \frac{1}{5}$ .
B) $- \frac{2}{5}$ .
C) $- \frac{3}{5}$ .
D) $- \frac{4}{5}$ .
E) $- 1$ .

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A alternativa correta é letra C

A reta que passa pelos pontos A e B possui como equação

y = 2 x

. A reta de equação

x - 3 y = 1

é equivalete a

y = \frac{1 - x}{- 3}

.
Assim, para descobrir as coordenadas do ponto P (sendo P um ponto comum às duas retas) basta igualar suas equações, à procura do valor comum de x

2 x = \frac{1 - x}{- 3} \Rightarrow x = - \frac{1}{5}

.
Conhecendo o valor de x, é fácil calcular o valor de y:

y = 2 \times (- \frac{1}{5}) = - \frac{2}{5}

.
Somando os respectivos valor de x e y, temos que

x + y = - \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = - \frac{3}{5}

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8) Sabendo que a função f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:

A) 18.
B) 20.
C) 25.
D) 100.
E) 99.

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A alternativa correta é letra E

Substituindo f(5) = 0 e f(-2) = -63 na função f(x) = mx + 5, temos o seguinte sistema de equações:

\{\begin{matrix} 5 m + n = 0 \\ - 2 m + n = - 63 \end{matrix}

Multiplicando a segunda equação por -1 e somando as duas equações, temos:

\begin{array}{l} \frac{\{\begin{matrix} 5 m + n = 0 \\ 2 m - n = 63 \end{matrix}}{7 m = 63} \\ m = 9 \end{array}

Voltando para a primeira equação:

\begin{array}{l} 5 \cdot 9 + n = 0 \\ n = - 45 \end{array}

Sendo assim, f(16) é igual a:

\begin{array}{l} f (16) = 9 \cdot 16 - 45 \\ f (16) = 144 - 45 \\ f (16) = 99 \end{array}

Alternativa E.

9) Numa sapataria, 120 sandálias de determinado tipo eram vendidas por semana quando o preço era 10,00 reais o par. Hoje o preço é de 15,00, e são vendidas apenas 80 sandálias por semana. A equação da demanda nesta sapataria pode se expressa por:

A) $f (x) = 120 x$
B) $f (x) = 15, 00 x + 10, 00$
C) $f (x) = 15, 00 x + 80$
D) $f (x) = - 8 x + 200$
E) $f (x) = 80 x - 15$

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A alternativa correta é letra D

Analisando a demanda em função do preço de compra temos os pontos, (10, 120) e (15, 80). Montando uma equação podemos escrever, primeiramente o angulo da reta como:

a = \frac{△ Y}{△ x} = \frac{80 - 120}{15 - 10} = - 8

Montando a equação e substituindo um dos pontos temos:

y = - 8 x + b 120 = - 8.10 + b b = 200

Logo a equação final é:

y = - 8 x + 200

A alternativa correta é a Letra D

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10) Para um concurso militar, o número de vagas para homens correspondia a 80% do número de vagas para mulheres. Dada a grande procura de candidatos, decidiu-se ampliar o número de vagas, sendo 30 novas vagas para homens e 15 para mulheres. Após a mudança, o número total de vagas para homens passou a ser 84% do número total de vagas para mulheres. Com isso, o total de vagas para ambos os sexos passou a ser

A) 276
B) 552
C) 828
D) 1 104

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A alternativa correta é letra C

h equals 0 comma 8 m space h plus 30 equals space 0 comma 84 left parenthesis m plus 15 right parenthesis 0 comma 8 m plus 30 equals 0 comma 84 m plus 12 comma 6 0 comma 04 m equals 17 comma 4 m equals 435 rightwards arrow h equals 0 comma 8.435 equals 348

Assim, o número total de vagas passou a ser:

348 space plus space 30 space plus space 435 space plus space 15 space equals space 828.

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