Considere as funções dadas por

f(x) = senπx2 e g(x) = ax + b,

sendo o gráfico de g fornecido na figura.

O valor de f (g^–1(2)) é:

A) $\frac{\sqrt{2}}{4}$
B) $\frac{1}{2}$
C) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
E) 1

Resposta:

A alternativa correta é letra C

A partir do gráfico fornecido pelo enunciado, podemos calcular os coeficientes a e b da expressão para a função g(x). Sabe-se que a intersecção com o eixo y representa o coeficiente "b", e que a intersecção com o eixo x representa a raiz da função. Sendo assim, substituímos os dados:

\begin{array}{l} g (x) = a x + 1 \\ 0 = a \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 \\ - \frac{a}{2} = - 1 \\ a = 2 \end{array}

A partir dos coeficientes calculados, temos a expressão para g(x), que resulta em g(x) = 2x +1. Podemos então substituir g(x) por y e calcular a função inversa:

\begin{array}{l} y = 2 x + 1 \\ 2 x = y - 1 \\ x = \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \end{array}

Substituindo y por x e x por g^-1(x), temos que g^-1(2) é igual a:

\begin{array}{l} g^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \\ g^{- 1} (2) = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \\ g^{- 1} (2) = \frac{3}{2} \end{array}

Finalmente, temos que f(g^-1(2)) = f(3/2) vale:

\begin{array}{l} f (\frac{3}{2}) = s e n \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 2} \\ f (\frac{3}{2}) = s e n \frac{3 π}{4} \\ f (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

Alternativa C.

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Considere as funções dadas por

Resposta:

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