Questões Sobre Função e Equação Exponencial - Matemática - 1º ano do ensino médio

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1) Um cientista cultiva uma colônia de bactérias em uma placa. Esse tipo de bactéria se duplica por cada minuto que passa. Se o experimento iniciou às 9 am, a colônia de bactérias começou com uma única célula, e às 9:13 am a placa estava cheia até a metade. Em que horário a placa estará completamente cheia?

Sabemos que a colônia de bactérias dobra de tamanho a cada minuto. Se às 9:13 am a placa estava cheia até a metade, isso significa que no próximo minuto, às 9:14 am, ela estará completamente cheia, pois a quantidade de bactérias dobrará, preenchendo o restante da placa.

Agora, vamos ver como isso funciona com uma equação exponencial. A quantidade de bactérias ( N ) após ( t ) minutos pode ser modelada pela equação:

onde:

( N₀ ) é o número inicial de bactérias (1, neste caso),
( 2 ) é a base da exponencial, representando a duplicação,
( t ) é o tempo em minutos.

Às 9:00 am, temos ( t = 0 ) e ( N₀ = 1 ). Às 9:13 am, a placa está meio cheia, então podemos dizer que ( N(13) = 1/2 da capacidade total da placa. No próximo minuto, ( t = 14 ), a quantidade de bactérias será:

N (14) = 1 \cdot 2¹⁴

Isso é o dobro de ( N(13) ), o que significa que a placa estará completamente cheia às 9:14 am.

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2) Se x e y são números reais tais que

32x+y=1 e 3x-2y=19 , então (x – y) é igual a

A) 3/5.
B) 4/5.
C) 6/5.
D) -4/5.
E) -6/5.

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A alternativa correta é letra E

A partir das equações fornecidas pelo enunciado, podemos escrever o número 1 como 3⁰ e a fração 1/9 como 3^-2. Sendo assim, temos as duas igualdades de potência:

\{\begin{matrix} 3^{2 x + y} = 3^{0} \\ 3^{x - 2 y} = 3^{- 2} \end{matrix}

que nos levam ao sistema de equações lineares:

\{\begin{matrix} 2 x + y = 0 (I) \\ x - 2 y = - 2 (I I) \end{matrix}

Da equação (I), temos:

y = - 2 x

Substituindo em (II):

\begin{array}{l} x - 2 (- 2 x) = - 2 \\ 5 x = - 2 \\ x = - \frac{2}{5} \end{array}

Voltando para (I):

y = \frac{4}{5}

Sendo assim,

\begin{array}{l} (x - y) = - \frac{2}{5} - \frac{4}{5} \\ (x - y) = - \frac{6}{5} \end{array}

Alternativa E.

3) (PUC – PR) O conjunto de valores de x para que a desigualdade 491+2x·23x < 8274x+3 seja válida é:

(PUC – PR) O conjunto de valores de x para que a desigualdade

491+2x·23x < 8274x+3

seja válida é:

A) A = {x ∈ $ℝ$ | x > -1}
B) A = {x ∈ $ℝ$ | x > -8/9}
C) A = {x ∈ $ℝ$ | x < 1}
D) A = {x ∈ $ℝ$ | x < -1}
E) A = {x ∈ $ℝ$ | x > -1/7}

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A alternativa correta é letra D

Primeiramente devemos colocar todos os número na mesma base, ou seja:

{({(\frac{2}{3})}^{2})}^{1 + 2 x} . {(\frac{2}{3})}^{x} < {({(\frac{2}{3})}^{3})}^{4 x + 3}

, e simplificando obtemos:

{(\frac{2}{3})}^{2 + 4 x} . {(\frac{2}{3})}^{x} < {(\frac{2}{3})}^{12 x + 9}

A desigualdade é válida quando os expoentes satisfazem

(2 + 4 x) + x < 12 x + 9

, ou seja, quando x satisfaz

5 x + 2 < 12 x + 9

. Os valores de x que satisfazem a inequação são x<-1.

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4) O sistema de equações

2x+βy2αx=323βx-y3αy=81

tem solução única (x,y) se e somente se

A) α=β.
B) α≠β
C) α²-β²≠1.
D) α²+β²=1.
E) α²+β²≠1.

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A alternativa correta é letra C

Dado o sistema

\{\begin{matrix} \frac{2^{x + β y}}{2^{α x}} = 32 \\ \frac{3^{β x - y}}{3^{α y}} = 81 \end{matrix}

\{\begin{matrix} 2^{x + β y} = 32 . 2^{α x} \\ 3^{β x - y} = 81 . 3^{α y} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} 2^{x + β y} = 2^{5} . 2^{α x} \\ 3^{β x - y} = 3^{4} . 3^{α y} \end{matrix}

Usando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base no último sistema e resolvendo as equações exponenciais temos:

\begin{array}{l} \{\begin{matrix} 2^{x + β y} = 2^{5 + α x} \\ 3^{β x - y} = 3^{4 + α y} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x + β y = 5 + α x \\ β x - y = 4 + α y \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} x - α x + β y = 5 \\ β x - α y - y = 4 \end{matrix} \{\begin{matrix} x (1 - α) + β y = 5 \\ β x - (1 + α) y = 4 \end{matrix} \end{array}

Para que o último sistema tenha solução única demos ter:

|\begin{matrix} 1 - α & β \\ β & - (1 + α) \end{matrix}| \neq 0 \Rightarrow α^{2} - β^{2} \neq 1

Alternativa c.

5) Um barco parte de um porto A com 2x passageiros e passa pelos portos B e C, deixando em cada um metade dos passageiros presentes no momento de chegada, e recebendo, em cada um, 2x/2 novos passageiros. Se o barco parte do porto C com 28 passageiros e se N representa o número de passageiros que partiram de A, é correto afirmar que:

A) N é múltiplo de 7.
B) N é múltiplo de 13.
C) N é divisor de 50.
D) N é divisor de 128.
E) N é primo.

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A alternativa correta é letra D

Vamos chamar

k = 2^{\frac{x}{2}}

Desse modo, se o barco saiu com 2^x passageiros, então ele saiu com k² passageiros. Quando o barco chega em B, metade dos passageiros saem e entram mais k passageiros. Ou seja, ao sair de B temos k²/2 + k passageiros. Quando chega em C, metade saem e k entram, e assim ficamos com (k²/2 + k)/2 + k = k²/4 + k/2 + k = k²/4 + 3k/2 passageiros.
De acordo com o enunciado temos k²/4 + 3k/2 = 28.
Reolvendo a equação do segundo grau obtemos como raízes os números 8 e -14, vamos desprezar o número negativo pois este não vai ter significado físico no nosso problema.
No início falamos que de A saíram k² passageiros, logo sabemos que foram 8² = 64. Analisando as alternativas vemos que a correta é a letra D.

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6) Considere a aproximação: log 2 = 0,3. É correto afirmar que a soma das raízes da equação 22x – 6.2x + 5 = 0 é:

A) $\frac{7}{3}$ .
B) 2.
C) $\frac{5}{3}$ .
D) $\frac{4}{3}$ .
E) 1.

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A alternativa correta é letra A

Para resolver a equação exponencial 2^2x – 6.2^x + 5 = 0 devemos proceder da seguinte maneira:

R e e s c r e v e m o s a e q u a ç ã o : {(2^{x})}^{2} - 6 . 2^{x} + 5 = 0 E n t ã o, s u b s t i t u í m o s 2^{x} p o r y . L o g o : y^{2} - 6 y + 5 = 0 . C h e g a m o s e m u m a e q u a ç ã o d o s e g u n d o g r a u o n d e a s r a í z e s s ã o 1 e 5 . C o m o 2^{x} = y, t e m o s : 2^{x} = 1 2^{x} = 2^{0} x = 0 o u 2^{x} = 5 C o m o n ã o t e m c o m o i g u a l a r a b a s e 2 à b a s e 5, c o l o c a m o s \log a r í t m o d e c i m a l n o s d o i s t e r m o s : \log 2^{x} = \log 5 U s a n d o a s p r o p r i e d a d e s d e \log a r í t m o s, t e m o s : x . \log 2 = \log \frac{10}{2} x . \log 2 = \log 10 - \log 2 x . 0, 3 = 1 - 0, 3 x . 0, 3 = 0, 7 x = \frac{0, 7}{0, 3} = \frac{7}{3} L o g o, a s o m a d a s r a í z e s s e r á 0 + \frac{7}{3} = \frac{7}{3}

Logo, a alternativa correta é a letra A.

7) Uma das raízes da equação 22x– 8.2x+ 12 = 0 é x = 1.

A outra raiz é:

A) $1 + \log_{10} (\frac{3}{2})$
B) $1 + \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}$
C) $\log_{10} 3$
D) $\frac{\log_{10} 6}{2}$
E) $\log_{10} (\frac{3}{2})$

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A alternativa correta é letra B

Para facilitar a resolução da equação exponencial, podemos fazer uma mudança de variáveis, substituindo 2x por y, e resultando na equação:

y² - 8y + 12 = 0

Resolvendo a equação acima por soma e produto, temos que:

y₁ + y₂ = 8

y₁.y₂ = 12

E, portanto:

y₁ = 2 e y₂ = 6

Voltando para a variável x:

2^x = 2 ou 2^x = 6

x = 1 ou x = log₂ 6

Usando a propriedade de troca de base de logaritmos, temos que a segunda raiz de x pode ser escrita como:

x =

\frac{\log_{10} 6}{\log_{10} 2}

\frac{\log_{10} (2 \cdot 3)}{\log_{10} 2}

x =

\frac{\log_{10} 2 + \log_{10} 3}{\log_{10} 2}

= 1 +

\frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}

Alternativa B.

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8) O Iodo-131 é um elemento radioativo utilizado em medicina nuclear para exames de tireoide e possui meia-vida de 8 dias. Para descarte de material contaminado com 1 g de Iodo-131, sem prejuízo para o meio ambiente, o laboratório aguarda que o mesmo fique reduzido a 10-6 g de material radioativo. Nessas condições, o prazo mínimo para descarte do material é de: (Dado: log 2 ≈ 0,3)

A) 20 dias.
B) 90 dias.
C) 140 dias.
D) 160 dias.
E) 200 dias.

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A alternativa correta é letra D

Podemos escrever, a partir dos dados fornecidos, a equação que representa a decomposição do Iodo:

x(t) = x₀.(1/2)ⁿ

x(t) = x₀.2^-n,

onde x(t) é a quantia resultante da decomposição, x₀ é a quantia inicial e n o número de meias-vidas.

Substituindo os valores, temos:

10^-6 = 1.2^-n

2ⁿ = 10⁶

Escrevendo em forma de logaritmo:

log₂ 10⁶ = n

Usando as propriedades de mudança de base dos logaritmos:

n = log 10⁶ / log 2

n = 6 / 0,3

n = 20

Como cada meia-vida tem duração de 8 dias, o tempo t decorrido na decomposição é de:

t = n.8 = 20.8 = 160 dias

Alternativa D.

9) Se o número real K satisfaz á equação 32x – 4.3x + 3 = 0, então k2 é igual a:

A) 0 ou $\frac{1}{2}$
B) 0 ou 1
C) $\frac{1}{2}$ ou 1
D) 1 ou 2
E) 1 ou 3

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A alternativa correta é letra B

Para facilitar os cálculos, podemos substituir 3^x por uma nova variável, y, e ficamos com a seguinte equação:

y² -4.y + 3 = 0

Resolvendo a equação por soma e produto, temos:

S = 4

P = 3

O que nos dá como raízes:

y = 1

y = 3

Voltando para a variável x, temos:

3^x = 1 ⇒ x = 0

3^x = 3 ⇒ x = 1

Se K satisfaz a equação, K² = 0 ou 1, o que remete à alternativa B como resposta correta.

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10) Se 22008 – 2 2007– 22006+ 22005= 9k. 22005, o valor de k

é:

A) $\frac{1}{\log 3}$ .
B) $\frac{1}{\log 4}$ .
C) 1.
D) $\frac{1}{2}$ .
E) $\frac{1}{3}$ .

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A alternativa correta é letra D

Dada a equação 2²⁰⁰⁸– 2 ²⁰⁰⁷– 2²⁰⁰⁶+ 2²⁰⁰⁵= 9^k. 2^{2005 temos:}

^{$\frac{2^{2008}}{2^{2005}} - \frac{2^{2007}}{2^{2005}} - \frac{2^{2006}}{2^{2005}} + \frac{2^{2005}}{2^{2005}} = 9^{k}$}

^{$2^{2008 - 2005} - 2^{2007 - 2005} - 2^{2006 - 2005} + 2^{2005 - 2005} = 9^{k}$}

^{$2^{3} - 2^{2} - 2^{1} + 2^{0} = 9^{k}$}

^{$8 - 4 - 2 + 1 = 9^{k}$}

^{$3 = 9^{k} \to k = \frac{1}{2}$ .}

Alternativa D está correta.

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