O sistema de equações

2x+βy2αx=323βx-y3αy=81

tem solução única (x,y) se e somente se

Resposta:

A alternativa correta é letra C

Dado o sistema

\{\begin{matrix} \frac{2^{x + β y}}{2^{α x}} = 32 \\ \frac{3^{β x - y}}{3^{α y}} = 81 \end{matrix}

\{\begin{matrix} 2^{x + β y} = 32 . 2^{α x} \\ 3^{β x - y} = 81 . 3^{α y} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} 2^{x + β y} = 2^{5} . 2^{α x} \\ 3^{β x - y} = 3^{4} . 3^{α y} \end{matrix}

Usando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base no último sistema e resolvendo as equações exponenciais temos:

\begin{array}{l} \{\begin{matrix} 2^{x + β y} = 2^{5 + α x} \\ 3^{β x - y} = 3^{4 + α y} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x + β y = 5 + α x \\ β x - y = 4 + α y \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} x - α x + β y = 5 \\ β x - α y - y = 4 \end{matrix} \{\begin{matrix} x (1 - α) + β y = 5 \\ β x - (1 + α) y = 4 \end{matrix} \end{array}

Para que o último sistema tenha solução única demos ter:

|\begin{matrix} 1 - α & β \\ β & - (1 + α) \end{matrix}| \neq 0 \Rightarrow α^{2} - β^{2} \neq 1

Alternativa c.