Questões Sobre Função e Equação Exponencial - Matemática - 1º ano do ensino médio

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11) Se x é um número real tal que 2-x.4x < 8x+1, então:

A) -2 < x < 2.
B) x = 1.
C) x = 0.
D) x < 3/2.
E) x > -3/2.

A alternativa correta é letra E

Deixando os números na mesma base obtemos:

2^{- x} . (2^{2})^{x} < {(2^{3})}^{x + 1}

. Simplificando obtemos:

2^{- x + 2 x} < 2^{3 x + 3}

Esta desigualdade é válida para x<3x+3, ou seja, x>-3/2.

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12) Sendo x e y números reais tais que 4x2x+y=8 e 9x+y35y=243, então x.y é igual a:

A) − 4
B) 12/5
C) 4
D) 6
E) 12.

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A alternativa correta é letra C

Para resolver esta questão devemos deixar as divisões em número de mesma base, da seguinte forma:

\frac{2^{2 x}}{2^{x + y}} = 2^{3}

2^{2 x - x - y} = 2^{3} x - y = 3

\frac{3^{2 x + 2 y}}{3^{5 y}} = 3^{5}

3^{2 x + 2 y - 5 y} = 3^{5} 2 x - 3 y = 5

Agora temos duas equações e duas incógnitas, e portanto podemos resolver o sistema:

\{\begin{cases} x - y = 3 \\ 2 x - 3 y = 5 \end{cases} \to \{\begin{cases} x = 3 + y \\ 6 + 2 y - 3 y = 5 \end{cases} y = 1 e x = 4

Logo x.y = 4. Alternativa C.

13) A raiz da equação 3x-1+ 4 . 3x + 3x+1 = 223 é um número

A) inteiro positivo.
B) inteiro negativo.
C) irracional.
D) racional positivo não inteiro.
E) racional negativo não inteiro.

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A alternativa correta é letra D

P a r a r e s o l v e r e s t a e q u a ç ã o e x p o n e n c i a l p r i m e i r o c o l o c a m o s 3^{x} e m e v i d ê n c i a : 3^{x} (3^{- 1} + 4 + 3) = 22 \sqrt{3} 3^{x} (\frac{1}{3} + 7) = 22 . 3^{\frac{1}{2}} 3^{x} (\frac{1 + 21}{3}) = 22 . 3^{\frac{1}{2}} 3^{x} . \frac{22}{3} = 22 . 3^{\frac{1}{2}} 3^{x} = \frac{22 . 3^{\frac{1}{2}}}{\frac{22}{3}} 3^{x} = 22 . 3^{\frac{1}{2}} . \frac{3}{22} 3^{x} = 3^{\frac{1}{2} + 1} 3^{x} = 3^{\frac{3}{2}} x = \frac{3}{2}

que é racional positivo não inteiro.

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14) Os valores de x que satisfazem a equação exponencial 25x – 26.5x + 25 = 0 são:

A) 0 e 2.
B) 1 e 2.
C) –1 e 2.
D) 0 e –1.
E) 0 e 1.

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A alternativa correta é letra A

A partir da equação do enunciado, podemos utilizar as propriedades dos exponenciais para reescrevê-la:

{(5^{x})}^{2} - 26 \cdot (5^{x}) + 25 = 0

Para facilitar os cálculos, fazemos uma mudança de variáveis, substituindo 2^x por y:

y^{2} - 26 y + 25 = 0

Resolvendo a equação por soma e produto, temos que as duas raízes, y₁ e y₂, estão relacionadas por:

\begin{array}{l} y_{1} + y_{2} = 26 \\ y_{1} \cdot y_{2} = 25 \end{array}

Sendo assim, temos que:

\begin{array}{l} y_{1} = 1 \\ y_{2} = 25 \end{array}

Voltando para a variável x, temos as raízes x₁ e x₂ da equação original:

\begin{array}{l} 5^{x} = 1 o u 5^{x} = 25 \\ 5^{x} = 5^{0} 5^{x} = 5^{2} \\ x = 0 x = 2 \end{array}

Alternativa A.

15) A mitose é uma divisão celular, na qual uma célula duplica o seu conteúdo, dividindo-se em duas, ditas células-filhas. Cada uma destas células-filhas se divide, dando origem a outras duas, totalizando quatro células-filhas e, assim, o processo continua se repetindo sucessivamente. Assinale a alternativa que corresponde, corretamente, à função que representa o processo da mitose.

A) f: $straight integer numbers rightwards arrow straight natural numbers$ , dada por f(x) = x²
B) f: $straight integer numbers rightwards arrow straight integer numbers$ , dada por f(x) = 2^x
C) f: $straight natural numbers to the power of asterisk times rightwards arrow straight natural numbers$ , dada por f(x) = 2^x
D) f: $straight real numbers to the power of plus rightwards arrow straight real numbers to the power of plus$ , dada por f(x) = 2^x
E) f: $straight real numbers to the power of plus rightwards arrow straight real numbers to the power of plus$ , dada por f(x) = 2x

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A alternativa correta é letra C

No processo de divisão celular o número de células-filha cresce exponencialmente. Cada célula-filha gera duas novas células. Dessa maneira, a função deverá ser representada com x no expoente (número de divisões) e a base deverá ser 2 (número de células resultantes da divisão de uma célula). Como não existem valores de divisão negativas ou fracionais, apenas números naturais podem ser considerados, exceto o 0, por isso N*. Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

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16) Determine o conjunto solução da inequação exponencial: 22×2-6x ≥ 2216

Determine o conjunto solução da inequação exponencial:

22×2-6x ≥ 2216

A) S = {x ∈ $ℝ$ | x ≤ -2 ou x ≥ 8}
B) S = {x ∈ $ℝ$ | x < -2 ou x > 8}
C) S = {x ∈ $ℝ$ | -2 < x < 8}
D) S = ∅
E) S = {x ∈ $ℝ$ | -2 ≤ x ≤ 8}

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A alternativa correta é letra E

Como as bases são iguais e menores que 1, a desigualdade do enunciado é válida quando x²-6x≤16. Calculando as raízes da equação x²-6x-16=0 obtemos x=-2 e x=8. Como o coeficiente de x² é positivo concluímos que a concavidade está voltada para cima. Sendo assim a desigualdade x²-6x≤16 vale para -2≤x≤8.

17) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que

A) $M (t) = 2^{(4 - t / 75)}$
B) $M (t) = 2^{(4 - t / 50)}$
C) $M (t) = 2^{(5 - t / 50)}$
D) $M (t) = 2^{(5 - t / 150)}$

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A alternativa correta é letra A

Para M(0) temos, pelo gráfico, M(0)=16=2⁴. Portanto, M(t) deve ser da forma M(t)=2⁴.2^(at). Para t=150 obtemos M(150)=4, ou seja,

4 = 16 . 2^{150 a}

, isto nos dá a=-1/75. Sendo assim, temos

M (t) = 2^{(4 - t / 75)} .

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18) O conjunto verdade da equação 2x – 2-x = 5 (1 – 2-x) é:

A) {1, 4}
B) {1, 2}
C) {0, 1}
D) {0, 2}
E) { }

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A alternativa correta é letra D

Desenvolvendo a equação, temos:

2^x - 2^-x = 5 - 5.2^-x

2^x + 4.2^-x - 5 = 0

Substituindo 2^x por uma nova variável, y, para facilitar os cálculos:

y + 4.y^-1 - 5 = 0

Multiplicando toda a equação por y:

y² + 4 - 5.y = 0

Temos uma equação de 2° grau, cuja soma das raízes é igual a 5 e o produto delas igual a 4. Podemos simplesmente aferir que as raízes são iguais a:

y = 1 ou y = 4

Voltando para a variável x:

y = 2^x = 1 ⇒ x = 0

y = 2^x = 4 ⇒ x = 2

Alternativa D.

19) Em um plano cartesiano, o ponto P(a, b), com a e b números reais, é o ponto de máximo da função f(x) = –x2+ 2x + 8. Se a função g(x) = 3–2x + k, com k um número real, é tal que g(

A) = b, o valor de k é

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A alternativa correta é letra C

Se P(a, b), com a e b números reais, é o ponto de máximo da função

f(x) = –x² + 2x + 8 → x_V = - b/2a = - 2/- 2 = 1 e y_V= -Δ/4a = - 36/- 4 = 9 →

P(a, b) = P(1, 9) → a = 1 e b = 9

Se a função g(x) = 3^{–2x + k}, com k um número real, é tal que g(a) = b, então

3^{-2.a + k} = b →
3^{-2.1 + k} = 9 →
3^{-2.1+ k} = 3² →
- 2 + k = 2 →
k = 4.

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20) O valor de x na equação 392x-2 = 127 é

A) tal que 2 < x < 3.
B) negativo.
C) tal que 0 < x < 1.
D) múltiplo de 2.
E) 3.

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A alternativa correta é letra D

Podemos escrever todos os elementos da equação como potências de base 3, obtendo:

{(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})}^{2 x - 2} = 3^{- 3}

Desenvolvendo a equação, temos:

\begin{array}{l} {(3^{- \frac{3}{2}})}^{2 x - 2} = 3^{- 3} \\ 3^{- 3 x + 3} = 3^{- 3} \end{array}

A igualdade de potências de mesma base implica na igualdade dos expoentes, portanto:

\begin{array}{l} - 3 x + 3 = - 3 \\ - 3 x = - 6 \\ x = 2 \end{array}

Das alternativas, a única que é obedecida com a resposta encontrada é a de letra D.

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