Questões Sobre Função e Equação Exponencial - Matemática - 1º ano do ensino médio

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21) Daqui a t anos o valor de um automóvel será V = 2000(0,75)t reais. A partir de hoje daqui a quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje?

(Adote log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)

A) 3 anos.
B) 4,5 anos.
C) 2 anos.
D) 2,5 anos.
E) 6 anos.

A alternativa correta é letra D

Para t=0 temos V=2000, a metade do valor será 1000. Para V=1000 temos

1000 = 2000 (0, 75)^{t}

, simplificando obtemos

\frac{1}{2} = (0, 75)^{t}

, ou seja,

\frac{1}{2} = {(\frac{3}{4})}^{t}

. Aplicando log obtemos

\log 2^{- 1} = \log {(\frac{3}{4})}^{t}

, o que é equivalente a

- 1.0, 3 = t . (\log 3 - \log 2^{2})

, ou seja,

- 1.0, 3 = t . (\log 3 - 2 \log 2)

, substituindo os valores obtemos -0,3=t(-0,12), e por fim t=2,5 anos.

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22) A forma simplificada da expressão na base dez é:

0,01 . 1005106:103-4

A) 10^-15
B) 10 ^-14
C) 10¹⁴
D) 10¹⁵
E) 10¹³²

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A alternativa correta é letra C

A expressão apresentada no enunciado pode ser simplificada da seguinte maneira:

\begin{array}{l} (\frac{10^{- 2} \cdot {(10^{2})}^{5}}{10^{6}}) : 10^{- 12} = \frac{10^{- 2} \cdot 10^{10}}{10^{6} \cdot 10^{- 12}} = \\ = \frac{10^{8}}{10^{- 6}} = 10^{8} \cdot 10^{6} = 10^{14} \end{array}

Alternativa C.

23) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t)=c.a-kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e, c e k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

A) 10%
B) 5%
C) 4%
D) 3%
E) 2%

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A alternativa correta é letra C

Primeiramente vamos encontrar a constante c,

\begin{array}{r} m (t) = {ca}^{- kt} \\ m (t = 0) = {ca}^{0} = c \end{array}\} como m (t = 0) = m_{0} \Rightarrow c = m_{0}

O problema nos diz que em 10 anos a substância decaiu à 0,2×m₀. Então,

m (t = 10) = m_{0} a^{- 10 k} = 0, 2 m_{0} \Rightarrow a^{- 10 k} = 0, 2 (1)

Agora, vamos procurar qual a fração da substância ainda existe depois de 20 anos:

m (t = 20) = m_{0} a^{- 20 k} = {pm}_{0} \Rightarrow a^{- 20 k} = p (2)

Observe que se elevarmos a equação (1) ao quadrado, o lado esquerdo da equação fica igual ao lado esquerdo da equação (2). Então, podemos descobrir o valor de p, conforme segue:

{(a^{- 10 k})}^{2} = {(0, 2)}^{2} \Rightarrow a^{- 20 k} = 0, 04

como a^{- 20 k} = p \Rightarrow p = 0, 04 = 4 %

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

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24) A soma das raízes da equação (2x)x+3 = 16 é:

A soma das raízes da equação (2^x)^x+3 = 16 é:

A) –4
B) 4
C) –3
D) 0
E) 3

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A alternativa correta é letra C

O número 16 pode ser escrito em potência de 2, o que, substituído na equação, fornece:

(2^x)^x+3 = 2⁴

Desenvolvendo a equação:

2^x2+3x = 2⁴

A igualdade de potências de mesma base implica na igualdade dos expoentes, portanto:

x² + 3x = 4

x² + 3x - 4 = 0

Sabemos, pelas Relações de Girard, que a soma das raízes é dada por -b/a da equação ax2 + bx + c = 0, portanto, a soma das raízes desta equação (s) é dada por:

s = -3/1 = -3

Alternativa C.

25) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por

P(t) = [280 – 190 × e^{– 0,019} ^{× (t – 1970)}]

Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural

ln1495≅-1,9

a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:

A) 2065.
B) 2070.
C) 2075.
D) 2080.
E) 2085.

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A alternativa correta é letra B

Primeiramente devemos definir quantas pessoas equivalem a 90% da suposta população de estabilização (280 milhões).

\frac{90}{100} \times 280 = 252 milhões

Devemos definir em qual ano o número de habitantes será aproximadamente 252 milhões. Para isso utilizaremos o modelo matemático fornecido, sendo P(t)=252 milhões:

252 = [280 - 190 \times e^{- 0, 019 (t - 1970)}]

252 - 280 = - 190 \times e^{- 0, 019 (t - 1970)}

\frac{- 28}{- 190} = e^{- 0, 019 (t - 1970)}

\frac{14}{95} = e^{- 0, 019 (t - 1970)}

Aplicando ln dos dois lados, temos:

\ln (\frac{14}{95}) = \ln (e^{- 0, 019 (t - 1970)})

- 1, 9 = - 0, 019 (t - 1970)

- 1, 9 = - 0, 019 t + 37, 43

- 39, 33 = - 0, 019 t

t = 2070

Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

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26) A figura descreve o gráfico de uma função exponencial do tipo y = ax, de ℝ em ℝ .

Nessa função, o valor de y para x = – 0,5 é igual a

A) log 5
B) log₅2
C) $square root of 5$
D) log₂5
E) 2,5

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A alternativa correta é letra C

Dada a função y = a^{x} Substituindo o par ordenado (1; 0, 2) obtemos o valor de a a^{1} = 0, 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} a = \frac{1}{5} y = {(\frac{1}{5})}^{- \frac{1}{2}} y = 5^{\frac{1}{2}} y = \sqrt{5}

27) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função: q(t) = q0.2(-0,1)t

Sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

A) 5.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 10.

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A alternativa correta é letra E

Substituindo q(t) = q₀/2 na função dada, temos:

q₀/2 = q₀.2^(-0,1)t

1/2 = 2^(-0,1)t

2^-1 = 2^(-0,1)t

-1 = -0,1.t

t = 10 meses

Alternativa E.

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28) (Fesp – PR) Determine x na equação exponencial 3(x-1)(x+6) = 1/729

(Fesp – PR) Determine x na equação exponencial 3^(x-1)(x+6) = 1/729

A) –5 e 0
B) 1 e 6
C) – 6 e 0
D) 0 e 1
E) 0

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A alternativa correta é letra A

O número 729 pode ser escrito em potência de 3, o que nos deixa com a equação:

3^(x+1)(x+6) = 3^-6

Uma igualdade de potências de mesma base implica na igualdade dos expoentes, ou seja:

(x-1)(x+6) = -6

Desenvolvendo o produto:

x² - x + 6x - 6 = -6

x² + 5x = 0

Colocando x em evidência, temos:

x (x + 5) = 0

Portanto, as raízes da equação são:

x = 0

x = -5

Alternativa A.

29) A solução da equação 2x-1 – 2x+2 = -56 é um número:

A) primo.
B) múltiplo de 3.
C) divisível por 4.
D) múltiplo de 5.
E) divisível por 7.

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A alternativa correta é letra C

A partir da equação do enunciado, podemos usar a propriedade de multiplicação e divisão de exponenciais de mesma base para reescrevê-la:

\frac{2^{x}}{2^{1}} - 2^{x} \cdot 2^{2} = - 56

Para facilitar os cálculos, fazemos uma mudança de variáveis, substituindo 2^x por y:

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot y - 4 y = - 56 \\ y - 8 y = - 112 \\ - 7 y = - 112 \\ y = 16 \end{array}

Voltando para a variável x:

\begin{array}{l} 2^{x} = 16 \\ 2^{x} = 2^{4} \\ x = 4 \end{array}

Portanto, a solução da equação é divisível por 4, o que remete à alternativa C.

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30) Dê o conjunto solução da equação exponencial 2x+3+2x-1=17 é:

A) 1.
B) 2.
C) 25.
D) 100.
E) 104.

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A alternativa correta é letra A

Podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:

2^{x} \cdot 2^{3} + \frac{2^{x}}{2} = 17

Multiplicando toda a equação por 2:

\begin{array}{l} 2^{4} \cdot 2^{x} + 2^{x} = 34 \\ 16 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 34 \end{array}

Colocando 2^x em evidência:

\begin{array}{l} 2^{x} (16 + 1) = 34 \\ 2^{x} = \frac{34}{17} \\ 2^{x} = 2 \\ x = 1 \end{array}

Alternativa A.

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