Questões Sobre Função e Equação Exponencial - Matemática - 1º ano do ensino médio

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31) O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma população de microorganismos, ao longo do tempo t.

Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é

A) q(t) = a . b^t.
B) q(t) = at² + bt.
C) q(t) = at + b.
D) q(t) = a + log_bt.

A alternativa correta é letra A

A função representada pelo gráfico é uma função exponencial. Para toda função exponencial, tem-se:

f (x) = k . {(a)}^{x}

onde k é uma constante e a é a base da função exponencial. Como o gráfico relaciona o potencial biótico, q(t) e o tempo, então escrevemos:

q (t) = a . b^{t}

onde a representa a constante e b a base. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

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32) A solução da equação 3x+1 – 3x+2= -54 é

A) -2
B) 1
C) 0
D) 2
E)-1

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A alternativa correta é letra D

Usando a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, podemos escrever a equação da seguinte maneira:

3¹.3^x- 3².3^x= -54

3.3^x - 9.3^x = -54

Substituindo 3^x por uma nova variável, y, para facilitar os cálculos, temos:

3y - 9y = -54

-6y = -54

y = 9

Voltando para a variável x:

3^x= 9

3^x = 3²

x = 2

Alternativa D.

33) Um aluno do Ensino Médio deve resolver a equação 2x = 3 com o uso da calculadora. Para que seu resultado seja obtido em um único passo, e aproxime-se o mais possível do valor procurado, sua calculadora deverá possuir a tecla que indique a aplicação da função f definida por:

A) f (s) = s²
B) f (s) = 2s - 3
C) f (s) = 2s
D) f (s) = log (s)
E) f (s) = log₂ (s)

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A alternativa correta é letra E

Da equação 2^x = 3, aplicando a definição de logaritmo, temos que:

x = log₂ (3)

Sendo assim, para que o aluno resolva a equação na calculadora em um único passo, sua calculadora deve permitir o cálculo da função f(s) = log₂ (s), como descrito na alternativa E.

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34) Dado o sistema:

2x = 8y+19y = 3x-9

pode-se dizer que x+y é igual a:

A) 3.
B) 9.
C) 18.
D) 21.
E) 27.

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A alternativa correta é letra E

Para resolver o sistema linear apresentado no enunciado, é necessário transformar as equações em exponenciais de mesma base:

\{\begin{matrix} 2^{x} = (2^{3})^{y + 1} \\ (3^{2})^{y} = 3^{x - 9} \end{matrix} \{\begin{matrix} 2^{x} = 2^{3 y + 3} \\ 3^{2 y} = 3^{x - 9} \end{matrix}

Sendo igualdades exponenciais de mesma base, podemos igualar os expoentes:

\{\begin{matrix} x = 3 y + 3 (I) \\ 2 y = x - 9 (I I) \end{matrix}

Substituindo (I) em (II):

\begin{array}{l} 2 y = 3 y + 3 - 9 \\ y = 6 \end{array}

A partir de (I):

\begin{array}{l} x = 3 y + 3 \\ x = 18 + 3 \\ x = 21 \end{array}

Portanto, x+y = 27, e se faz correta a alternativa E.

35) Sejam x e y números reais que tornam verdadeiras as sentenças

2x+y – 2 = 302x-y – 2 = 0.

Nessas condições, x^yé igual a:

A) 1/9.
B) 1/8.
C) 1.
D) 8.
E) 9.

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A alternativa correta é letra E

Isolando as exponenciais nas equações e escrevendo os valores em potências de 2, temos:

\begin{array}{l} \{\begin{matrix} 2^{x + y} = 32 \\ 2^{x - y} = 2 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} 2^{x + y} = 2^{5} \\ 2^{x - y} = 2^{1} \end{matrix} caret \end{array}

Como a igualdade de potências de mesma base implica na igualdade dos expoentes, temos:

\{\begin{matrix} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{matrix}

Somando as duas equações:

2x = 6

x = 3

Voltando para a primeira equação:

3 + y = 5

y = 2

Sendo assim, x^y = 3² = 9, o que remete à alternativa E.

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36) O par ordenado (x,y) que é a solução do sistema 4^(x+y) = 32 e 3^(y-x) = √3 é:

A)5, 23
B)-5, 32
C)3, 23
D)1, 32
E)1, 1

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A alternativa correta é letra D

Para resolver o sistema linear apresentado no enunciado, é necessário transformar as equações em exponenciais de mesma base:

(22)x+y = 253y-x = 31222x+2y = 253y-x = 312

Sendo igualdades exponenciais de mesma base, podemos igualar os expoentes:

2x+2y = 5 (I)y-x = 12 (II)

Da equação (II):

y = 12+x

Substituindo (II) em (I), temos:

2x+212+x = 52x+1+2x = 54x = 4x = 1

Voltando para a equação (II):

y = 12+1y = 32

Alternativa D.

37) Sabendo que (1/3)^(x-1)=27, o valor de 12 – x^2 é:

A) – 3.
B) 2.
C) 3.
D) 8.
E) 16.

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A alternativa correta é letra D

Sabendo que 1/3 é igual a 3^-1 e que 27 é igual a 3³, podemos escrever a equação da seguinte maneira:

3-1x-1 = 333-x+1 = 33

Como os dois lados da igualdade são exponenciais de mesma base, podemos igualar os expoentes:

-x+1 = 3x = -2

Sendo assim, x² = 4, e 12 – x² = 8, o que faz da alternativa D a correta.

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38) O conjunto solução da equação 2^x = 1/32 é

A) -5.
B) 2.
C) 5.
D) 10.
E) 16.

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A alternativa correta é letra A

Da equação apresentada no enunciado, transformando os dois lados da igualdade em exponenciais de base 2, temos:

2x = 1322x = 1252x = 2-5x = -5

Alternativa A.

39) (Puc) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei N(t) =m.2^t/2 na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era

A) 3600
B) 3200
C) 3000
D) 2700
E) 1800

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A alternativa correta é letra B

Substituindo as condições iniciais fornecidas na equação, temos:

200 = m.2^0/2

200 = m.1

m = 200

Substituindo agora t = 8 na equação:

N = 200.2^8/2

N = 200.2⁴

N = 200.16

N = 3200

Alternativa B.

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