Início » 1º ano do Ensino Médio » Matemática 1º ano » Função e Equação Exponencial » Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t)=c.a-kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e, c e k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

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Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t)=c.a-kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e, c e k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

A) 10%
B) 5%
C) 4%
D) 3%
E) 2%

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Resposta:

A alternativa correta é letra C

Primeiramente vamos encontrar a constante c,

\begin{array}{r} m (t) = {ca}^{- kt} \\ m (t = 0) = {ca}^{0} = c \end{array}\} como m (t = 0) = m_{0} \Rightarrow c = m_{0}

O problema nos diz que em 10 anos a substância decaiu à 0,2×m₀. Então,

m (t = 10) = m_{0} a^{- 10 k} = 0, 2 m_{0} \Rightarrow a^{- 10 k} = 0, 2 (1)

Agora, vamos procurar qual a fração da substância ainda existe depois de 20 anos:

m (t = 20) = m_{0} a^{- 20 k} = {pm}_{0} \Rightarrow a^{- 20 k} = p (2)

Observe que se elevarmos a equação (1) ao quadrado, o lado esquerdo da equação fica igual ao lado esquerdo da equação (2). Então, podemos descobrir o valor de p, conforme segue:

{(a^{- 10 k})}^{2} = {(0, 2)}^{2} \Rightarrow a^{- 20 k} = 0, 04

como a^{- 20 k} = p \Rightarrow p = 0, 04 = 4 %

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

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Resposta:

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