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Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

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1) Seja SA a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (8, 12, …), e SB a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (17, 19, …). Sabendo-se que n ≠ 0 e SA = SB, o único valor que n poderá assumir é

  • A) múltiplo de 3.
  • B) múltiplo de 5.
  • C) múltiplo de 7.
  • D) divisor de 16.
  • E) primo.
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A alternativa correta é letra B

Da teoria de progressão aritmética sabemos que a soma dos termos de uma P.A limitada é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos, e é dada pela seguinte expressão:
 
Sn=a1+an2.n
onde a1 é o primeiro termo, a​n  é o enésimo termo, n é o número de termos e Sé a soma dos n termos.
Aplicado a teoria ao problema:
PA8,12,16....ana1=8r=4an=8+n-14SA=8+8+(n-1)4n2=(12+4n)n2PA17,19,21....ana1=17r=2an=17+n-12SB=17+17+(n-1)2n2=(32+2n)n2
Como n0, 
12+4n=32+2nn=10

Portanto, n é múltiplo de 5, a alternativa correta é a B.
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2) Sabendo-se que x², x²+11 e 4x²+3x+16 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, os valores de x pertencem ao conjunto:

  • A) {-3, -2}
  • B) {-3, -1}
  • C) {-2, 0}
  • D) {-4, -2}
  • E) {-2, 1}
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A alternativa correta é letra E

Se os três elementos estão em progressão aritmética, significa que a distância entre o 1º e o 2º termo é igual à distância entre o 2º e o 3º termo:
 
(x² + 11) - (x²) = (4x² + 3x + 16) - (x² + 11)
11 = 3x² + 3x + 5
3x² + 3x - 6 = 0
 
Dividindo a equação por 3, temos:
 
x² + x - 2 = 0
 
Resolvendo a equação por soma e produto:
 
S = -1
P = -2,
 
o que nos dá como raízes:
 
x = -2
x = 1
 
Alternativa E.

3) Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é

  • A) 5.
  • B) 6.
  • C) 7.
  • D) 8.
  • E) 9.
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A alternativa correta é letra A

Neste problema, utilizando as fórmulas de soma dos n primeiros termos e do termo geral da PA, temos duas incógnitas: n e an, o n-ésimo termo, o que nos dá um sistema de duas equações e duas incógnitas.
A partir da soma dos n primeiros termos, temos:
 
Sn = n·a1+an2203 = n·13+an2403n = 13+anan = 403n - 13 (I)
 
A partir da fórmula do termo geral:
 
an = a1 + n-1·ran = 13 + n-1·12an = 13 + n2 - 12an = -16 + n2 (II)
Igualando as duas equações e multiplicando a equação resultante por 12n:
 
403 - 13 = -16 + n2160 - 4n = -2n + 6n26n2 + 2n - 160 = 0
Resolvendo a equação pela Fórmula de Bháskara:
 
n = -2±22 - 4·6·-1602·6n = -2±22 + 384012n = -2±384412n = -2±6212n1 = -2+6212 = 6012 = 5n2 = -2-6212 = -6412 = -5,333
Como n é o número de termos da PA, e por isso, deve ser um número natural, tem-se que n = n1 = 5, o que vai de acordo com a alternativa A.
 
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4) Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em PA, eles valem (em cm):

  • A) 2, 5 e 8
  • B) 1, 5 e 9
  • C) 12, 20 e 28
  • D) 4, 6 e 8
  • E) 3, 5 e 7
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A alternativa correta é letra E

Sendo em Pa os seus comprimentos podemos definir como:
a1, a2, a3, tal quea2=a1+ra3=a2+r=a1+2r

Escrevendo sua área total temos:
At=2.a1.a2+2.a1.a3+2.a2.a3At=2.a1.(a1+r)+2.a1.(a1+2r)+2.(a1+r).(a1+2r)At/2=a12+a1.r+a12+2a1.r+a12+2a1.r+a1.r+2r2At/2=3a12+6a1.r+2r23a12+6a1.r+2r2=71

Já a soma de seus comprimentos é:
St=4.a1+4a2+4.a3St/4=a1+a1+r+a1+2rSt/4=3a1+3rSt/12=a1+ra1+r=5

Isolando r na segunda equação e inserindo na primeira temos:
3a12+6a1.(5-a1)+2(5-a1)2-71=03a12+30a1-6a12+50-20a1+2a12-71=0-a12+10a1-21=0-(a1-7)(a1-3)=0a1=3 ou a1=7

Analisando r para atemos:
a1=3r=5-a1r=2a2=5, a3=7a1=7r=5-7r=-2a2=5, a3=3

Logo a Pa é 3, 5, 7
Alternativa correta é a Letra E

5) (Pucmg 2004) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 670 metros que contorna certa praça. A cada dia, ela percorre sempre uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco dias, ela tiver percorrido um total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em 

torno da praça. O valor de x é: 
  • A) 6 
  • B) 7 
  • C) 8 
  • D) 9 
  • E) 10
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A alternativa correta é letra B

As distâncias percorridas pela pessoa a cada dia constituem a PA de razão r = 670 m. A soma das distâncias dos 5 primeiros dias é igual a 23450 m:
 
S5 = (a1 + a5).5/2
23450 =  (a1 + a5).5/2
a1 + a5 = 9380
a5 = 9380 - a1 (I)
 
Pela fórmula do termo geral da PA, temos:
 
a5 = a1 + (5-1).670
a5 = a1 + 2680 (II)
 
Igualando as duas equações, temos:
 
9380 - a1 = a1 + 2680
2a1 = 6700
a1 = 3350 m
 
No terceiro dia, a distância percorrida foi de:
 
a3 = a1 + (3-1).670
a3 = 3350 + 2.670
a3 = 4690 m
 
Sabendo que a pessoa percorreu x voltas, como cada volta tem 670 m, o número de voltas foi de:
 
x = 4690/670
x = 7 voltas
 
Alternativa B.
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6) A sequência t1, t2, t3, t4, …, forma nessa ordem, uma P.A. onde t1 representa a temperatura média da atmosfera da Terra em 2007, t2 em 2008, t3 em  2009 e assim sucessivamente, supondo-se que sejam mantidos os atuais níveis de aquecimento global. Sabendo-se que t1 + t2 = 29,22° e t3 + t4 = 29,30°, pode-se afirmar que, segundo essa sequência, a temperatura média da atmosfera terrestre em 2017 será igual a:

  • A) 16,6°
  • B) 16,2°
  • C) 15,2°
  • D) 15,0°
  • E) 14,8°
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A alternativa correta é letra E

Obsevando que tn=t1+(n-1)r, onde r é a razão, obtemos t1+t2=t1+(t1+r)=2t1+r=29,22o e t3+t4=(t1+2r)+(t1+3r)=2t1+5r=29,30o um sistema de duas equações e duas incǵnitas, de onde podemos obter t1 e r.
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 4r=0,08o , ou seja, r =0,02o . E subtituindo na primeira equação obtemos t1=14,6o . Portando em 2017 a temperatura será de t11=t1+10r=14,6o +0,2o =14,8o .

7) As idades de três pessoas são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3 anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa época, a soma das três idades será:

  • A) 36 anos
  • B) 38 anos
  • C) 42 anos
  • D) 45 anos
  • E) 48 anos
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A alternativa correta é letra D

A PA é dada por: (x-5, x, x+5). Depois de 3 anos, a PA é tal que (x-5, x, 2(x-5)), e temos a relação da razão, dada por:
 
r = x - (x-5) = 2(x-5) - x
x - x + 5 = 2x - 10 - x
x = 15
 
Nessa época, as três idades são: 10, 15 e 20, e a soma das idades é dada por:
 
S = 10 + 15  + 20
S = 45 anos
 
Alternativa D.
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8) Um estudante atrasou a resolução dos exercícios da sua apostila e resolveu colocá-los em dia. No primeiro dia resolveu 10 exercícios e propôs-se a, diariamente, resolver três exercícios a mais que no dia anterior. Sabendo-se que eram 413 os exercícios atrasados, o estudante gastou, para pô-los em dia:

  • A) 28 dias.
  • B) 7 dias.
  • C) 20 dias.
  • D) 42 dias.
  • E) 14 dias.
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A alternativa correta é letra E

A quantidade de exercícios resolvidos por dia constituem uma Progressão Aritmética (10, 13, 16, ...) de razão 3. A quantidade total de exercícios atrasados representam a soma dos n primeiros termos dessa PA, na qual n é o número de dias necessários para resolver todos os exercícios atrasados.
A soma dos n primeiros termos dessa PA é dada por:
 
Sn = n·a1+an2413 = n·10+an2826n = 10 + anan = 826n - 10 (I)
Como não sabemos o valor de an, o n-ésimo termo da PA, usaremos a fórmula do termo geral para obtermos uma segunda equação de an em função de n:
 
an = a1 + n-1·ran = 10 + n-1·3an = 10 + 3n -3an = 7 + 3n (II)
Igualando as equações (I) e (II), temos:
 
826n - 10 = 7 + 3n3n + 17 - 826n = 0
Multiplicando a equação por n:
 
3n2 + 17n - 826 = 0
Resolvendo a equação de 2° grau acima, temos:
 
n = -17±172-4·3·-8262·3n = -17±289+99126n = -17±102016n = -17±1016n1 = -17+1016   e   n2 = -17-1016n1 = 14                  n2 = -19,667
Como n deve ser um número natural, a solução é n = 14, portanto, são 14 os termos da PA, e 14 os dias necessários para que o estudante resolva todos os exercícios atrasados.

9) Ieceblog.blogspot.com (adaptado)  

Ieceblog.blogspot.com (adaptado)
 
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
  • A) −50
  • B) −40
  • C) −30
  • D) −20
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A alternativa correta é letra A

Vamos descrever cada uma das distâncias, conforme segue:
dCD = x; dBC = x + 10; dAB = x + 20
Como a distância de A até D equivale a 390 km, então:
(x) + (x + 10) + (x + 20) = 390
3x + 30 = 390
3x = 390 − 30
3x = 360
x = 120
Obtemos então a seguinte PA (140, 130, 120, ...) com razão −10. Para descobrir o vigésimo termo utilizamos a fórmula:
an=a1+(n-1)r
a20=140+(20-1)×(-10)
a20=-50
Portanto, a resposta correta é a alternativa A.
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10) Se a média aritmética dos 31 termos de uma progressão aritmética é 78, então o 16º termo dessa progressão é

  • A) 54
  • B) 66
  • C) 78
  • D) 82
  • E) 96
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A alternativa correta é letra C

A média aritmética de uma PA é justamente seu termo central, no caso o termo central será justamente o 16º termo, portanto igual a 78.
1 2 3 6