Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

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1) Seja SA a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (8, 12, …), e SB a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (17, 19, …). Sabendo-se que n ≠ 0 e SA = SB, o único valor que n poderá assumir é

A) múltiplo de 3.
B) múltiplo de 5.
C) múltiplo de 7.
D) divisor de 16.
E) primo.

A alternativa correta é letra B

Da teoria de progressão aritmética sabemos que a soma dos termos de uma P.A limitada é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos, e é dada pela seguinte expressão:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} . n

onde a₁ é o primeiro termo, a_n é o enésimo termo, n é o número de termos e S_né a soma dos n termos.
Aplicado a teoria ao problema:

P A (8, 12, 16 . . . . a_{n}) \{\begin{cases} \begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} = 8 \\ r = 4 \end{matrix} \end{matrix} \\ a_{n} = 8 + (n - 1) 4 \end{cases} ∴ S_{A} = \frac{[8 + 8 + (n - 1) 4] n}{2} = \frac{(12 + 4 n) n}{2} P A (17, 19, 21 . . . . a_{n}) \{\begin{cases} \begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} = 17 \\ r = 2 \end{matrix} \end{matrix} \\ a_{n} = 17 + (n - 1) 2 \end{cases} ∴ S_{B} = \frac{[17 + 17 + (n - 1) 2] n}{2} = \frac{(32 + 2 n) n}{2}

Como

n \neq 0,

12 + 4 n = 32 + 2 n \Rightarrow n = 10

Portanto, n é múltiplo de 5, a alternativa correta é a B.

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2) Sabendo-se que x², x²+11 e 4x²+3x+16 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, os valores de x pertencem ao conjunto:

A) {-3, -2}
B) {-3, -1}
C) {-2, 0}
D) {-4, -2}
E) {-2, 1}

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A alternativa correta é letra E

Se os três elementos estão em progressão aritmética, significa que a distância entre o 1º e o 2º termo é igual à distância entre o 2º e o 3º termo:

(x² + 11) - (x²) = (4x² + 3x + 16) - (x² + 11)

11 = 3x² + 3x + 5

3x² + 3x - 6 = 0

Dividindo a equação por 3, temos:

x² + x - 2 = 0

Resolvendo a equação por soma e produto:

S = -1

P = -2,

o que nos dá como raízes:

x = -2

x = 1

Alternativa E.

3) Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é

A) 5.
B) 6.
C) 7.
D) 8.
E) 9.

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A alternativa correta é letra A

Neste problema, utilizando as fórmulas de soma dos n primeiros termos e do termo geral da PA, temos duas incógnitas: n e a_n, o n-ésimo termo, o que nos dá um sistema de duas equações e duas incógnitas.

A partir da soma dos n primeiros termos, temos:

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2} \\ \frac{20}{3} = \frac{n \cdot (\frac{1}{3} + a_{n})}{2} \\ \frac{40}{3 n} = \frac{1}{3} + a_{n} \\ a_{n} = \frac{40}{3 n} - \frac{1}{3} (I) \end{array}

A partir da fórmula do termo geral:

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r \\ a_{n} = \frac{1}{3} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} \\ a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \\ a_{n} = - \frac{1}{6} + \frac{n}{2} (I I) \end{array}

Igualando as duas equações e multiplicando a equação resultante por 12n:

\begin{array}{l} \frac{40}{3} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} + \frac{n}{2} \\ 160 - 4 n = - 2 n + 6 n^{2} \\ 6 n^{2} + 2 n - 160 = 0 \end{array}

Resolvendo a equação pela Fórmula de Bháskara:

\begin{array}{l} n = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 160)}}{2 \cdot 6} \\ n = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} + 3840}}{12} \\ n = \frac{- 2 \pm \sqrt{3844}}{12} \\ n = \frac{- 2 \pm 62}{12} \\ n_{1} = \frac{- 2 + 62}{12} = \frac{60}{12} = 5 \\ n_{2} = \frac{- 2 - 62}{12} = - \frac{64}{12} = - 5, 333 \end{array}

Como n é o número de termos da PA, e por isso, deve ser um número natural, tem-se que n = n₁ = 5, o que vai de acordo com a alternativa A.

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4) Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em PA, eles valem (em cm):

A) 2, 5 e 8
B) 1, 5 e 9
C) 12, 20 e 28
D) 4, 6 e 8
E) 3, 5 e 7

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A alternativa correta é letra E

Sendo em Pa os seus comprimentos podemos definir como:

a_{1}, a_{2}, a_{3}, t a l q u e a_{2} = a_{1} + r a_{3} = a_{2} + r = a_{1} + 2 r

Escrevendo sua área total temos:

A_{t} = 2 . a_{1} . a_{2} + 2 . a_{1} . a_{3} + 2 . a_{2} . a_{3} A_{t} = 2 . a_{1} . (a_{1} + r) + 2 . a_{1} . (a_{1} + 2 r) + 2 . (a_{1} + r) . (a_{1} + 2 r) A_{t} / 2 = {a_{1}}^{2} + a_{1} . r + {a_{1}}^{2} + 2 a_{1} . r + {a_{1}}^{2} + 2 a_{1} . r + a_{1} . r + 2 r^{2} A_{t} / 2 = 3 {a_{1}}^{2} + 6 a_{1} . r + 2 r^{2} 3 {a_{1}}^{2} + 6 a_{1} . r + 2 r^{2} = 71

Já a soma de seus comprimentos é:

S_{t} = 4 . a_{1} + 4 a_{2} + 4 . a_{3} S_{t} / 4 = a_{1} + a_{1} + r + a_{1} + 2 r S_{t} / 4 = 3 a_{1} + 3 r S_{t} / 12 = a_{1} + r a_{1} + r = 5

Isolando r na segunda equação e inserindo na primeira temos:

3 {a_{1}}^{2} + 6 a_{1} . (5 - a_{1}) + 2 (5 - a_{1})^{2} - 71 = 0 3 {a_{1}}^{2} + 30 a_{1} - 6 {a_{1}}^{2} + 50 - 20 a_{1} + 2 {a_{1}}^{2} - 71 = 0 - {a_{1}}^{2} + 10 a_{1} - 21 = 0 - (a_{1} - 7) (a_{1} - 3) = 0 a_{1} = 3 o u a_{1} = 7

Analisando r para a₁temos:

a_{1} = 3 r = 5 - a_{1} r = 2 a_{2} = 5, a_{3} = 7 a_{1} = 7 r = 5 - 7 r = - 2 a_{2} = 5, a_{3} = 3

Logo a P_a é 3, 5, 7
Alternativa correta é a Letra E

5) (Pucmg 2004) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 670 metros que contorna certa praça. A cada dia, ela percorre sempre uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco dias, ela tiver percorrido um total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em

torno da praça. O valor de x é:

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

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A alternativa correta é letra B

As distâncias percorridas pela pessoa a cada dia constituem a PA de razão r = 670 m. A soma das distâncias dos 5 primeiros dias é igual a 23450 m:

S₅ = (a₁ + a₅).5/2

23450 = (a₁ + a₅).5/2

a₁ + a₅ = 9380

a₅ = 9380 - a₁ (I)

Pela fórmula do termo geral da PA, temos:

a₅ = a₁ + (5-1).670

a₅ = a₁ + 2680 (II)

Igualando as duas equações, temos:

9380 - a₁ = a₁ + 2680

2a₁ = 6700

a₁ = 3350 m

No terceiro dia, a distância percorrida foi de:

a₃ = a₁ + (3-1).670

a₃ = 3350 + 2.670

a₃ = 4690 m

Sabendo que a pessoa percorreu x voltas, como cada volta tem 670 m, o número de voltas foi de:

x = 4690/670

x = 7 voltas

Alternativa B.

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6) A sequência t1, t2, t3, t4, …, forma nessa ordem, uma P.A. onde t1 representa a temperatura média da atmosfera da Terra em 2007, t2 em 2008, t3 em 2009 e assim sucessivamente, supondo-se que sejam mantidos os atuais níveis de aquecimento global. Sabendo-se que t1 + t2 = 29,22° e t3 + t4 = 29,30°, pode-se afirmar que, segundo essa sequência, a temperatura média da atmosfera terrestre em 2017 será igual a:

A) 16,6°
B) 16,2°
C) 15,2°
D) 15,0°
E) 14,8°

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A alternativa correta é letra E

Obsevando que t_n=t₁+(n-1)r, onde r é a razão, obtemos t₁+t₂=t₁+(t₁+r)=2t₁+r=29,22^o e t₃+t₄=(t₁+2r)+(t₁+3r)=2t₁+5r=29,30^o um sistema de duas equações e duas incǵnitas, de onde podemos obter t₁ e r.

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 4r=0,08^o , ou seja, r =0,02^o . E subtituindo na primeira equação obtemos t₁=14,6^o . Portando em 2017 a temperatura será de t₁₁=t₁+10r=14,6^o +0,2^o =14,8^o .

7) As idades de três pessoas são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3 anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa época, a soma das três idades será:

A) 36 anos
B) 38 anos
C) 42 anos
D) 45 anos
E) 48 anos

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A alternativa correta é letra D

A PA é dada por: (x-5, x, x+5). Depois de 3 anos, a PA é tal que (x-5, x, 2(x-5)), e temos a relação da razão, dada por:

r = x - (x-5) = 2(x-5) - x

x - x + 5 = 2x - 10 - x

x = 15

Nessa época, as três idades são: 10, 15 e 20, e a soma das idades é dada por:

S = 10 + 15 + 20

S = 45 anos

Alternativa D.

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8) Um estudante atrasou a resolução dos exercícios da sua apostila e resolveu colocá-los em dia. No primeiro dia resolveu 10 exercícios e propôs-se a, diariamente, resolver três exercícios a mais que no dia anterior. Sabendo-se que eram 413 os exercícios atrasados, o estudante gastou, para pô-los em dia:

A) 28 dias.
B) 7 dias.
C) 20 dias.
D) 42 dias.
E) 14 dias.

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A alternativa correta é letra E

A quantidade de exercícios resolvidos por dia constituem uma Progressão Aritmética (10, 13, 16, ...) de razão 3. A quantidade total de exercícios atrasados representam a soma dos n primeiros termos dessa PA, na qual n é o número de dias necessários para resolver todos os exercícios atrasados.

A soma dos n primeiros termos dessa PA é dada por:

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2} \\ 413 = \frac{n \cdot (10 + a_{n})}{2} \\ \frac{826}{n} = 10 + a_{n} \\ a_{n} = \frac{826}{n} - 10 (I) \end{array}

Como não sabemos o valor de an, o n-ésimo termo da PA, usaremos a fórmula do termo geral para obtermos uma segunda equação de a_n em função de n:

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r \\ a_{n} = 10 + (n - 1) \cdot 3 \\ a_{n} = 10 + 3 n - 3 \\ a_{n} = 7 + 3 n (I I) \end{array}

Igualando as equações (I) e (II), temos:

\begin{array}{l} \frac{826}{n} - 10 = 7 + 3 n \\ 3 n + 17 - \frac{826}{n} = 0 \end{array}

Multiplicando a equação por n:

3 n^{2} + 17 n - 826 = 0

Resolvendo a equação de 2° grau acima, temos:

\begin{array}{l} n = \frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 826)}}{2 \cdot 3} \\ n = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 9912}}{6} \\ n = \frac{- 17 \pm \sqrt{10201}}{6} \\ n = \frac{- 17 \pm 101}{6} \\ n_{1} = \frac{- 17 + 101}{6} e n_{2} = \frac{- 17 - 101}{6} \\ n_{1} = 14 n_{2} = - 19, 667 \end{array}

Como n deve ser um número natural, a solução é n = 14, portanto, são 14 os termos da PA, e 14 os dias necessários para que o estudante resolva todos os exercícios atrasados.

9) Ieceblog.blogspot.com (adaptado)

Ieceblog.blogspot.com (adaptado)

Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, d_AB, d_BC e d_CD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:

A) −50
B) −40
C) −30
D) −20

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A alternativa correta é letra A

Vamos descrever cada uma das distâncias, conforme segue:

d_CD = x; d_BC = x + 10; d_AB = x + 20

Como a distância de A até D equivale a 390 km, então:

(x) + (x + 10) + (x + 20) = 390
3x + 30 = 390
3x = 390 − 30
3x = 360
x = 120

Obtemos então a seguinte PA (140, 130, 120, ...) com razão −10. Para descobrir o vigésimo termo utilizamos a fórmula:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

a_{20} = 140 + (20 - 1) \times (- 10)

a_{20} = - 50

Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

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10) Se a média aritmética dos 31 termos de uma progressão aritmética é 78, então o 16º termo dessa progressão é

A) 54
B) 66
C) 78
D) 82
E) 96

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A alternativa correta é letra C

A média aritmética de uma PA é justamente seu termo central, no caso o termo central será justamente o 16º termo, portanto igual a 78.

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