Questões Sobre Teoria dos Conjuntos - Matemática - 1º ano do ensino médio

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1) Simão Botelho e Teresa Albuquerque moram em casas vizinhas e vivem um amor de perdição através de suas janelas em plena Portugal do século XIX. Quando são proibidos de se ver, combinam uma fuga para além das fronteiras de Portugal e precisam contabilizar suas economias. Teresa, com auxílio de uma lanterna a óleo acesa, quer informar a Simão sua quantia por meio de um código mutuamente combinado. Para isso, realiza de sua janela uma sequência de movimentos que simbolizam 6 algarismos m5, m4, m3, m2, m1 e m0 , nesta ordem, de forma que cada algarismo pertença ao conjunto {0, 1} utilizando a seguinte convenção: i) Levar a lanterna ao seu lado esquerdo simboliza o número 0; ii) Levar a lanterna ao seu lado direito simboliza o número 1. A sequência transmitida por Teresa a Simão é transformada, por ele, em um número natural N através da seguinte regra:

N = m₅2⁵ + m₄2⁴ + m₃2³ + m₂2² + m₁2¹ + m₀2⁰

Sabendo que N = 42 é a quantia informada por Teresa a Simão, assinale a alternativa que apresenta, correta e ordenadamente, a sequência m₅, m₄, m₃, m₂, m₁, m0 de algarismos simbolizada por ela.

A) 0, 0, 1, 1, 1, 1
B) 0, 1, 0, 1, 0, 1
C) 1, 0, 1, 0, 1, 0
D) 1, 0, 1, 1, 0, 0
E) 1, 1, 0, 0, 1, 0

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A alternativa correta é letra C

Escrevendo 42 como soma de potências de 2, temos que 42 = 32 + 8 + 2 = 25 + 23 + 2 = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 , concluímos que a sequência m⁵, m⁴, m³, m², m¹, m⁰ de algarismos simbolizada por Teresa Albuquerque é 1, 0, 1, 0, 1, 0.

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2) Determine a imagem da função f(x) = – 3x² + 2x – 1.

A) [1/3, +∞[
B) ]- ∞, 2/3]
C) ]- ∞, 1/3]
D) [2/3, + ∞]
E) ]- ∞, -2/3]

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A alternativa correta é letra E

O conjunto imagem de uma função quadrática com A negativo é definido tal que:

I m = \{y \in ℝ | y \leq y_{v} = \frac{- △}{4 . a}\}

Calculando y_v temos:

y_{v} = \frac{- [{(b)}^{2} - 4 . a . c]}{4 . a} = \frac{- [{(2)}^{2} - 4 . (- 3) . (- 1)]}{4 . (- 3)} y_{v} = \frac{- [4 - 12]}{- 12} = \frac{- 8}{12} = \frac{- 2}{3}

Logo:

I m = \{y \in ℝ | y \leq \frac{- 2}{3}\} \Rightarrow] - \infty, \frac{- 2}{3}]

Logo a letra correta é a Letra E

3)

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A alternativa correta é letra A

Seja f(x) =

fraction numerator 2 minus x over denominator x end fraction

⇔ f(x) =

2 over x

– 1, com – 4 ≤ x ≤ 2 e x ≠ 0
O gráfico da função f é

Assim sendo, o domínio de f é [– 4; 0[

union

]0; 2] e o conjunto imagem é ]–∞; –1,5]

union

[0; +∞[

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo

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4) Determine o conjunto imagem de y=3×2+4.

A) R
B) ${y \in R / y \leq 4}$
C) ${y \in R / - 4 < y < 4}$
D) ${y \in R / y < 4}$
E) ${y \in R / y \geq 4}$

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A alternativa correta é letra E

Como a função é positiva temos uma concavidade para cima, logo a função possui mínimo.

Analizando o valor de delta da função vemos que o valor é menor que zero, logo a função nao possui raíz real.

Já a definição da função em seu vértice é dada como

y_{v} = \frac{- △}{4 . a} = \frac{- (b^{2} - 4 . a . c)}{4 . a} = \frac{- (- 4.3.4)}{4.3} y_{v} = 4

Logo o conjunto imagem da função será

I_{m} = \{y \in ℝ | y \geq 4\}

A alternativa correta é a Letra E

5) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre as preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante Universitário. Nove alunos optaram somente por carne de frango, 3 somente por peixes, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos, 36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe, assinale a alternativa que apresenta o número de alunos entrevistados.

A) 38
B) 42
C) 58
D) 62
E) 78

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A alternativa correta é letra D

De acordo com as informações do enunciado, preenchemos o diagrama de Venn da seguinte maneira:

Como 36 não optaram por carne bovina:
X = 36 - (9 + 3 + 20)
X = 4

Como 42 não optaram por peixe:
Y = 42 - (9 + 7 + 20)
Y = 6

O total de alunos entrevistados é, portanto:
9 + 7 + 4 + X + 3 + 9 + Y + 20 = 62

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6) Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes:

A) No conjunto dos números inteiros negativos, existe um elemento que é menor do que todos os outros.
B) O número real $\sqrt{2}$ pode ser representado na forma fracionária.
C) O número real representado por 0,37222.... é um número racional.
D) Toda raiz de uma equação algébrica do 2° grau é um número real.
E) O quadrado de um número real é um número racional.

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A alternativa correta é letra C

Vamos analisar as questões:

a) (Falsa). O conjunto Z é infinito tanto para positivos (não há maior elemento), quanto para negativos (não há menor elemento).

b) (Falsa).

\sqrt{2}

é um número irracional, ou seja, não pode ser representado na forma fracionária.

c) (Verdadeira). Note que 0,37222... = 335/900, ou seja, é um racional.

d) (Falsa). Pela fórmula de Bhaskara temos que caso

∆

seja negativo implica em raízes complexas.

e) (Falsa). Basta tomar um número irracional transcendente, por exemplo,

π

ou o número de Euler, temos que pi ao quadrado é irracional.

7) Determine B-A, sendo A= {x ∈ N | 2< x < 10} e B= {x ∈ N | x ≥ 5}.

A) {x ∈ N | x > 10}
B) {x ∈ N | 5 ≤ x ≤ 10}
C) {x ∈ N | x ≥ 10}
D) {x ∈ N | 2 < x < 5}
E) {x ∈ N | x ≥ 5}

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A alternativa correta é letra C

Dado que todos os conjuntos referem-se aos números naturais, temos que o conjunto B é da forma:

B= {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, e o conjunto A é formado por:

A= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Lembrando que a subtração de dois conjuntos é dada usualmente, retirando do primeiro conjunto os elementos pertencentes ao segundo conjunto, temos:

(B-A) = {10, 11, 12, 13, ...}

portanto:

(B-A) = B= {x ∈ N | x ≥ 10}.

Alternativa c)

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8) O quadrinho aborda o tema de números primos, sobre os quais é correto afirmar:

O quadrinho aborda o tema de números primos, sobre os quais é correto afirmar:

A) Todos os números primos são ímpares.
B) Existem, no máximo, 7 trilhões de números primos.
C) Todo número da forma 2ⁿ+ 1, n ∈ $straight natural numbers$ , é primo.
D) Entre 24 e 36, existem somente 2 números primos.
E) O número do quadrinho, 143, é um número primo.

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A alternativa correta é letra D

a) Falsa. O número 2 é primo.
b) Falsa. Existem infinitos números primos.
c) Falsa. O número 9 pode ser escrito da forma23+ 1 e não é primo.
d) Verdadeira. Entre 24 e 36 existem apenas dois números primos, que são 29 e 31.
e) Falsa. O número 143 é divisível por 13, portanto,não é primo.

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo

9) Sejam os conjuntos: A = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 5} B = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 6} Assinale a alternativa correta.

Sejam os conjuntos:

A = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 5}

B = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 6}

Assinale a alternativa correta.

A) A ∩ B = {2, 3, 4}
B) A ∩ B = {x ∈ $ℝ$ | 2 ≤ x ≤ 5}
C) A ∩ B = {x ∈ $ℝ$ | 2 < x < 5}
D) A ∩ B = {x ∈ $ℝ$ | 2 < x ≤ 5}
E) A ∩ B = {x ∈ $ℝ$ | 2 ≤ x < 5}

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A alternativa correta é letra E

O resultado da operação A∩B deve ser o conjunto que contém todos os números em comum pertencentes ao conjunto A e ao conjunto B, ou seja, deve respeitar os limites comuns dos conjuntos, portanto temos:

A \cap B = {x \in R | 2 \leq x < 5}

.
Alternativa e).

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10) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que: I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; II. 16 não obtiveram nota mínima em português; III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês; IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português; V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês; VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês. A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi

A) 44.
B) 46.
C) 47.
D) 48.
E) 49.

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A alternativa correta é letra E

Seja P os reprovados em português, M os reprovados em matemática e I os reprovados em inglês, devemos preencher o diagrama de Venn para identificar quantos candidatos participaram do concurso.

Sabemos que 2 não obtiveram êxito em nenhuma das três disciplinas, portanto, devemos indicar o centro do diagrama com a quantidade 2.

Sabemos que 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês, mas vimos que 2 não obtiveram nota mínima em inglês, português e matemática, portanto, devemos indicar que 7 - 2 = 5 corresponde a quantidade de candidatos que reprovaram APENAS em português e inglês.
Analogamente, podemos concluir que 5 - 2 = 3 reprovaram apenas em matemática e português e 3 - 2 = 1 reprovou apenas em matemática e inglês.

Da mesma forma que 12 não obtiveram nota mínima em inglês, ou seja, 12 - 5 - 2 - 1 = 4 reprovaram apenas em inglês. 16 não obtiveram nota mínima em português, logo 16 - 5 - 3 - 2 = 6 reprovaram apenas em porquês. 14 não obtiveram nota mínima em matemática, assim, 14 - 3 - 2 - 1 = 8 reprovaram apenas em matemática.
Além disso, temos que 20 pessoas obtiveram êxito nas três disciplinas, portanto, 20 pessoas estão do lado de fora do diagrama de Venn.

Somando todos os valores numéricos presentes no diagrama de Venn temos que houveram 20+5+2+3+1+4+8+6 = 49 candidatos. Alternativa E.

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