Questões Sobre Contagem - Matemática - 2º ano do ensino médio

As arestas do cubo são segmentos de retas com extremidades nos vértices do cubo, portanto são 12 arestas. Cada face do cubo tem 2 diagonais que são segmentos com extremidades nos vértices, portanto temos 6.2=12 diagonais nas faces do cubo. Se considerarmos segmentos que passem por dentro do cubo veremos qua há 4 segmentos com extremidades nos vértices. Sendo assim, há 12+12+4=28 segmentos com extremidades nos vértices.

 

Alternativa A.

Há 5! permutações da palavra SORTE, ou seja, 120 anagramas possíveis. Se considerarmos que foram colocadas em ordem alfabética podemos considerar as palavras começadas com E que são 24, pois é a permutação das outras 4 letras. Depois vem as palavras começadas em O que são um total de 24. Depois são as começadas em R que perfazem um total de 24. E assim, obtemos as 72 primeiras palavras portanto a 86ª deve começar com S. Considerando todas as começadas em S a correspondente a 86ª será a 14ª começada em S, ou seja, será SRETO.

Se agruparmos a família Sousa vemos que há 3 possibilidades para eles sentarem na lotação, e em cada uma dessas possibilidades há 3!=6 maneiras de arranjar os membros da família. Feito isto há 2 banco para alocar o casal, e 2 possibilidades diferentes para o casal sentar, e ainda há 2 maneiras de arranjar o casal. Finalmente há apenas 4!=24 de alocar as quatro pessoas restantes. Portanto o número total de possibilidades é de 3.6.2.2.2.24=3456.

Existem C_5,3 maneiras de escolher 3 cobaias, C_5,4 maneiras de escolher 4 cobaias e C_5,5 maneiras de escolher 5 cobaias. Ou seja,

$C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}=\frac{5!}{3!2!}+\frac{5!}{4!1!}+\frac{5!}{5!0!}$=10+5+1=16.

De acordo com o enunciado temos:

Total de alunos: 9
Comissão: 5 pessoas 
Total de combinações = C9,5 = $\frac{9!}{4! . 5!}$= 126 

Agora devemos eliminar a comissão com Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto 
(Andréia , Manoel) = C7,3 = 35 $\leftarrow$ está incluído (Andreia , Alberto , Manoel) juntos 
(Andréia , Alberto) = C7,3 = 35 $\leftarrow$ está incluído ( Andreia , Manoel , Alberto) juntos 

Agora devemos excluir da combinação acima (Andréia, Manoel , Alberto) juntos para evitar somar 2 vezes. 
(Andréia, Manoel , Alberto) e restante (6 pessoas) = C6,2 = 15
Total a ser excluído = 35 + 35 -15 = 55 combinações... 
Total de combinações possíveis:

 

Alternativa A.

O número de maneiras de distribuir estes alunos vai ser dada pela combinação de 10 seis a seis ou 10 quatro a quatro, estes números coincidem. Então, $C_{10,6}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{10.9.8.7}{4.3.2.1}=210$.

Existem 5 duplas, de criança e o responsável. Essas duplas podem sentar no brinquedo de 5!=120 maneiras diferentes, pois há 5 possibilidades para a primeira posição, 4 possibilidades para a segunda posição, e assim sucessivamente. Mas, cada dupla pode variar a ordem em que sentam, da forma primeiro responsável depois criança ou primeiro criança depois responsável. Portanto, existem 120.2.2.2.2.2=3840 possibilidades.

Como não pode haver repetição de pessoas do mesmo sexo podemos agrupar as pessoas em duplas de um homem e uma mulher. Existem 4 duplas ao todo, de modo que há 4 possibilidades para a cadeira 1, 3 possibilidades para a cadeira 2, duas possibilidades para a cadeira 3 e resta uma possibilidade para a cadeira 4, ou seja, existem 4.3.2.1=24 maneiras de as duplas sentarem. Mas, as cadeiras não percisam estar na ordem numérica, portanto há 4.3.2.1=24 possibilidades para a ordem das cadeiras, perfazendo um total de 24.24=576 possibilidades.

Ainda, temos de levar em consideração que cada casal pode estar arranjado de uma maneira, homem primeiro e mulher depois ou mulher primeiro e homem depois, e como não pode haver repetição a ordem do primeiro casal deve ser seguida por todos os outros casais. Sendo assim, existem 576.2=1152 maneiras diferentes.

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