Questões Sobre Contagem - Matemática - 2º ano do ensino médio

Dispondo de 5 números distintos é possível formar $5\times 5\times 5$ números distintos de três dígitos, pois há 5 possibilidades de números respectivamente para o primeiro algarismos, para o segundo algarismo e para o terceiro algarismo.
Destes  $5\times 5\times 5$ números, $5 \times 4 \times 3$ são os números que não possuem dígitos repetidos em sua composição, pois, para preencher o primeiro algarismo haverão 5 possibilidades de números, para preencher o segundo algarismo haverão 4 possibilidades e para preencher o primeiro algarismo haverão 3 possibilidades. 
Assim, a diferença de é equivalente aos números que possuem dígitos repetidos em sua composição, ou seja, números onde há pelo menos dois algarismos iguais. Portanto $5\times 5\times 5 - 5\times 4\times 3 = 125 - 60 = 65$. Alternativa B. 

Um número é múltiplo de 3 quando a soma de seus algarismos é múltiplo de 3. Calculando C_5,4=5 descobrimos quantos grupos de 4 algarimos conseguimos formar com o 5 algarismos do enunciado. Vamos agora ver quantos desses grupos são divisíveis por 3. Temos os grupos:

1+4+5+7=17 (não é múltiplo de 3);

1+4+5+8=18 (múltiplo de 3);

1+4+7+8=20 (não é múltiplo de 3);

1+5+7+8=21 (múltiplo de 3);

4+5+7+8=24 (múltiplo de 3).

Cada um desses 3 grupos que é divisível por 3 contém 4! números que são obtidos pelas permutações de todos os algarismos. Portanto, obtemos 3.4!=3.24=72.

O número de subconjuntos de C com 3 elementos é dado por $C_{12,3}$, pois há 12 elementos em C. Para obter aqueles subconjuntos cuja soma dos elementos seja ímpar é preciso que 2 dos elementos sejam pares e um seja ímpar. Assim, devemos tomar todas as combinações de 7 dois a dois e multiplicar pelo quantidade de números ímpar e somar com os conjuntos os todos os elementos são ímpares. Portanto, a quantidade total de conjuntos com dois números pares é de $\frac{7!}{5!2!}.5=21.5=105$ enquanto que o número de conjuntos com 3 elementos ímpares é $\frac{5!}{2!3!}=10$ . Então a resposta é 105+10=115.

Dado no enunciado que quaisquer outros pontos nunca estão alinhados com nenhum dos pontos sobre a reta, temos que o número total de triângulo que podem ser formado é dado por:

$\begin{array}{l}{C}_{10,3}-C_{4,3}=\frac{10!}{7!.3!}-\frac{4!}{1!.3!}=\\ =\frac{720}{6}-\frac{24}{6}=\frac{696}{6}=116\end{array}$ 

Alternativa c)

Inicialmente note que podemos juntar os livros em grupos e variar a ordem dos grupos de 3!=6 maneiras diferentes, pelo princípio fundamental da contagem. Dentro de cada grupo de n elementos temos n! configurações ao todo que obtemos da variação de todos os elementos. Ou seja, podemos dispor os livros de 6.4!.5!.3!=103 680 maneiras diferentes.

Se eles ficarem nas poltronas do lado esquerdo há 2 modos, se ficarem no lado direito também há 2 modos, e se ficarem no meio há A_3,2=6 modos. No total há 2+2+6=10 modos diferentes.

O número de possibilidades de se efetuar a promoção é dada pela combinação de (n-2) funcionários dois a dois, pois só há duas vagas para a promoção. Ou seja, $105=\frac{(n-2)!}{2!.(n-4)!}$. Simplificando obtemos $105=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)!}{2(n-4)!}$$=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$$=\frac{n^2-5n+6}{2}$, obtemos assim n²-5n-204=0 que tem como raízes os números -12 e 17 mas somente 17 faz sentido.

O número total de maneiras distintas de alinhar as 7 estacas é de 7!, mas como 5 são idênticas precisamos desconsiderar todas as permutações dessas 5 estacas, ou seja, o número de maneiras é $\frac{7!}{5!}=7.6=42$.

O técnico tem 3 possibilidades para o gol, 3 possibilidades para a defesa, 4 possibilidades para o ataque e $C_{6,2}=\frac{6!}{4!2!}=15$ possibilidades para as alas. Portanto, há 3.3.4.15=540 maneiras de montar o time.