Questões Sobre Contagem - Matemática - 2º ano do ensino médio

A comissão vai ser formada por 5 alunos dentre os 27 alunos da turma, portanto o número total de comissões que pode ser formadas vai ser dado pela combinação de 27 cinco a cinco. Como Antônio e Bruno devem estar na comissão existem C_25,3=$\frac{25!}{22!3!}=2300$ maneiras de se formar a comissão.

Como um dos participantes venceu todas as partidas, este fica em primeiro lugar. Para o segundo lugar sobraram 9 possibilidades e para o terceiro sobraram 8 possibilidades, portanto 9.8=72 possibilidades no total.

Como os números ímpares terminam em 1,3,5 ou 7, existem 4 possibilidades para o último algarismo. Escolhendo aleatoriamente um destes números para última posição ainda sobram 7 algarismo para completar o número que tem 4 algarismos, portanto existem 7 possibilidades para a primeira posição, existem 6 possibilidades para a segunda posição e existem 5 possibilidades para a terceira posição. Ou seja, existem 7.6.5.4=840 números impares com quatro algarismos formados sem repetição de algarismos com os dígitos 1,2,3,4,5,6,7 e 8.

O número total de siglas que podem ser formadas é uma permutação de 5 elementos levando-se em consideração as repetições das letras iguais, ou seja, $\frac{5!}{2.2}=30$ possibilidades.

Para cada vértice escolhido existem $C_{5,2}=\frac{5!}{2!3!}=10$ possíveis triângulos. Como podemos escolher 6 vértices há ao todo 6.10 = 60 triângulos, mas ao fazer isso estamos contando cada triângulo 3 vezes seguidas, portanto há 60/3 = 20 triângulos possíveis.

O número total de possibilidades vai ser dado pelo arranjo dos 24 países três a três, ou seja, $\frac{24!/}{21!}=24.23.22=12144$.

Existem 6 possibilidades para a primeira posição. Como não pode haver repetição existem 5 possibilidade para a segunda posição. Para a terceira posição há 5 possibilidades, pois somente o algarismo da segunda posição não pode repetido na terceira posição. Para a última posição há 5 possibilidades pois somente o algarismo da terceira posição não pode ser repetido. Sendo assim, existem 6.5.5.5=750 possibilidades ao todo.

Agrupando as letras VES temos 8 elementos VES,T,I,B,U,L,A,R. Os anagramas que podemos formar vai ser dado por 8! = 40320.

Considerando as vogais em ordem alfabética e juntas temos AEO, que consideraremos agrupadas. Temos então 5 elemento  C,S,T,L e AEO. O número de anagramas que pode ser obtido é dado por 5! = 120.

Para o número de salgados há 6 possibilidades para o primeiro, 5 possibilidades para o segundo e 4 possibilidades para o terceiro. Para os doces há 3 possibilidades para o primeiro e 2 para o segundo. Portanto, há no total 6.5.4.3.2=720 possibilidades.