Questões Sobre Contagem - Matemática - 2º ano do ensino médio

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31) Atualmente, as placas dos veículos têm 3 letras e 4 algarismos. As antigas eram confeccionadas com 2 letras e 4 algarismos. Quantas placas a mais (em relação ás antigas) poderão ser utilizadas?(Adote 26 letras do alfabeto).

A) 6760000.
B) 10000.
C) 169000000.
D) 1757600000.
E) 1000000.

A alternativa correta é letra C

A quantidade possível de placas formadas por 3 letras e 4 algarismos é

26 \cdot 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 175760000

A quantidade de placas constituídas por 2 letras e 4 algarismos é

26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 6760000

Para descobrir quantas placas a mais poderão ser utilizadas basta fazer

175760000 - 6760000 = 169000000

32) Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lido por 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemos afirmar corretamente que, nesse grupo,

A) pelo menos uma pessoa leu os dois livros.
B) nenhuma pessoa leu os dois livros.
C) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros.
D) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois livros.

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A alternativa correta é a letra C) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros.

Supondo que os livros A e B tenham sido lidos por pessoas diferentes temos que, de um grupo de 10 pessoas, apenas 9 leram livros, portanto, 1 pessoa não leu nenhum dos dois livros. Também, supondo que alguém leu os dois livros, fica claro que a quantidade de pessoas que não leu nenhum aumenta. Assim, em todos os casos, pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros. Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

33) Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine?

A) 144.
B) 132.
C) 120.
D) 72.
E) 20.

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A alternativa correta é letra C

O número de maneiras diferentes de expor as latas é obtido tomando o arranjo de 6 três a três, pois diferentes orden de latas produzem diferentes maneiras de expô-las.
Portanto, temos

A_{6, 3} = \frac{6!}{3!} = 6.5.4 = 120

34) Numa indústria trabalham três engenheiros e dez técnicos. Quantas equipes distintas, cada uma constituídas de um engenheiro e cinco técnicos, podem ser formadas?

A) 5040.
B) 1716.
C) 840.
D) 756.
E) 360.

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A alternativa correta é letra D

Há 3 possibilidades para a escolha do engenheiro. Para escolher os técnicos temos que considerar

C_{10, 5} = \frac{10!}{5! 5!} = \frac{30240}{120} = 252

Portanto podem ser formadas 3.252 = 756 equipes.

35) Uma empresa é formada por seis sócios brasileiros e quatro japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de cinco sócios, sendo três brasileiros e dois japoneses.

A) 90.
B) 120.
C) 60.
D) 80.
E) 40.

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A alternativa correta é letra B

Para forma a diretoria temos uma combinação de 6 três a três vezes uma combinação de 4 dois a dois. Sendo assim, podemos formar a diretoria de de

\frac{6!}{3! 3!} . \frac{4!}{2! 2!} = 20.6 = 120

modos diferentes.

36) Alfredo, Arnaldo, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com 5 símbolos, em que cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é:

A) 10.
B) 24.
C) 30.
D) 60.
E) 12.

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A alternativa correta é letra C

O número total de siglas que podem ser formadas é uma permutação de 5 elementos levando-se em consideração as repetições das letras iguais, ou seja,

\frac{5!}{2.2} = 30

possibilidades.

37) Um professor precisa elaborar uma prova multidisciplinar que consta de duas questões de Matemática e seis de Física. Ele deve escolher questões de um banco de dados que contém três questões de Matemática e oito de Física. O número de provas distintas possíveis, sem levar em conta a ordem em que as questões aparecem, é:

A) 42
B) 54
C) 62
D) 72
E) 84

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A alternativa correta é letra E

Existem C_3,2 =

fraction numerator 3 factorial over denominator 2 factorial space. space 1 factorial end fraction

= 3 modos de escolher as duas questões de matemática e existem C_8,6=

fraction numerator 8 factorial over denominator 6 factorial space. space 2 factorial end fraction

= 28 modos de escolher as seis questões de Física. Portanto, o número de provas distintas é dado por 3 . 28 = 84.

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo

38) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.

A) inferior ao dobro.
B) superior ao dobro e inferior ao triplo.
C) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
D) mais que o quádruplo.

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A alternativa correta é letra A

Atualmente temos um número total de placas de:

26^{3} \times 10^{4} = 17.576.000

Este valor passaria para:

26^{4} \times 10^{3} = 456.976.000

Ou seja, haveria um aumento de 2.6 vezes:

(26⁴ × 10³) / (26³ ×10⁴) = 2,6

Em comparação com o número atual, este aumento seria de 1,6 vezes:

([26⁴ × 10³] – [26³ × 10⁴]) / (26³ × 10⁴) = 1,6

Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

39) Um engradado, como o da figura, tem capacidade para 25 garrafas.Se, de forma aleatória, forem colocadas 5 garrafas no engradado, a probabilidade de que quaisquer duas delas não recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila vertical, é:

A) $\frac{5!}{25!}$
B) $\frac{5! 5!}{25!}$
C) $\frac{5! 20!}{25!}$
D) $\frac{5! 5! 20!}{25!}$
E) $\frac{5! 5! 25!}{20!}$

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A alternativa correta é letra D

A questão exige conhecimentos sobre cálculo de probabilidades e sobre o Princípio Fundamental da Contagem. Seja #X a representação do número de elementos de um conjunto X. Considere o espaço amostral U como sendo o conjunto formado por todas as possibilidades de combinações possíveis de se colocar as 5 garrafas no engradado com 25 lugares. Então #U é dado por:

\begin{array}{l} # U = C_{25; 5} = (\begin{matrix} 25 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{25!}{(25 - 5)! . 5!} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow # U = \frac{25!}{20! . 5!} \end{array}

Seja A o conjunto formado por todas as maneiras de se colocar 5 garrafas no engradado sem que quaisquer duas delas recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila vertical. Temos que #A é:

# A = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!

Finalmente, a probabilidade desejada, P(A), é dada por:

\begin{array}{l} P (A) = \frac{# A}{# U} = \frac{5!}{\frac{25!}{20! . 5!}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow P (A) = \frac{20! . 5! . 5!}{25!} \end{array}

Portanto, alternativa D.

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40) Um conjunto A possui 45 subconjuntos de 2 elementos. Determine o número de elementos de A.

A) 100
B) 10!
C) 20!
D) 20
E) 10

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A alternativa correta é letra E

Uma outra forma de enunciar o problema é dizer que o conjunto A possui 45 subconjuntos que são obtidos pela combinação dos elementos de A dois a dois, ou seja,

\frac{n!}{2! (n - 2)!} = 45

. Simplificando a expressão obtemos

\frac{n . (n - 1) (n - 2)!}{2! (n - 2)!} = \frac{n^{2} - n}{2} = 45

, e assim obtemos uma equação do segundo grau

n^{2} - n - 90 = 0

, que tem como raízes 10 e -9, mas só 10 faz sentido.

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