Questões Sobre Contagem - Matemática - 2º ano do ensino médio

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41) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra? (desconsidere a ordem das bolas)

A) 4.
B) 6.
C) 9.
D) 12.
E) 15.

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A alternativa correta é letra E

Vamos montar o sorvete com:

- 1 sabor:

Ch Ch Ch Ch

Mr Mr Mr Mr

Uv Uv Uv Uv

- 2 sabores:

com quantidade igual de bolas por sabor

Ch Ch Mr Mr

Ch Ch Uv Uv

Mr Mr Uv Uv

com três bolas de um sabor e uma de outro

Ch Ch Ch Mr

Ch Ch Ch Uv

Mr Mr Mr Ch

Mr Mr Mr Uv

Uv Uv Uv Mr

Uv Uv Uv Ch

- 3 sabores

Ch Ch Mr Uv

Mr Mr Ch Uv

Uv Uv Mr Ch

Somando-se todas as possibilidades acima, temos 15 opções. Alternativa E.

42) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

A) 551
B) 552
C) 553
D) 554
E) 555

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A alternativa correta é letra A

Em uma senha de 4 dígitos, o número 13 pode aparecer de 3 maneiras: 13XX, X13X ou XX13, em que X pode ser qualquer algarismo de 1 a 5.

Para o primeiro caso, pode-se variar apenas os dois últimos dígitos, com 5 opções para cada casa. Portanto, o número de possibilidades é de 5 . 5 = 25.

Analogamente, o segundo e o terceiro casos aparecem em 25 diferentes combinações cada um.

Vale lembrar o caso em que a senha é 1313, que nos casos acima, foi contado duas vezes, no caso das senhas 13XX e no caso das senhas XX13.

Portanto, o número de combinações de senhas em que aparece o número 13 é de 3 . 25 - 1 = 74.

O número total de senhas que podem ser combinadas é dado pela multiplicação das possibilidades em cada uma das casas: 5.5.5.5 = 625.

O enunciado pede o número de combinações de senhas em que não aparece o número 13, que, por sua vez, é dada pelo número total de senhas subtraindo-se a quantidade de senhas que contém o número:

625 - 74 = 551

43) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema.

A) 4.
B) 6.
C) 8.
D) 12.
E) 16.

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A alternativa correta é letra E

A primiera moça a sentar pode ocupar qualquer uma das 4 poltronas. Já a segunda deve ocupar qualquer uma das 2 poltronas da fileira não ocupada pela primeira moça. O primeiro rapaz pode optar por qualquer uma das 2 poltronas restantes e o último possue apenas 1 opção. Assim aplicando o conceito do princípio fundamental da contagem, temos:

4*2*2*1= 16

Alternativa E

44) Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expôlos na vitrine?

A) 144.
B) 132.
C) 120.
D) 72.
E) 2 .

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A alternativa correta é letra C) 120

O número total de combinações é dado pelo arranjo dos 6 tipos de refrigerantes tomados três a três, portanto $A_{6, 3} = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120 .$

45) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade.

A) 95 040.
B) 40 635.
C) 924.
D) 792.
E) 35.

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A alternativa correta é letra D

A questão exige conhecimentos teórico e prático sobre o Princípio Fundamental da Contagem e permutações. Sejam os caminhos "de baixo para cima" chamados de tipo 1, e sejam os caminhos "da esquerda para a direita" chamados de tipo 2. Utilizando essa nomenclatura, para ir de A até B teremos que passar, necessariamente, por 5 caminhos do tipo 1 e também por 7 caminhos do tipo 2. Sendo assim, o número de caminhos possíveis de A até B é dado pela permutação entre o número de caminhos possíveis do tipo 1 e do tipo 2, lembrando que os 5 caminhos do tipo 1 são iguais, assim como os 7 caminhos do tipo 2. O número C_AB de caminhos entre A e B é dado por:

C_{A B} = \frac{12!}{5! . 7!} = 792

Alternativa D.

46) Duzentos e cinqüenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos:

A) um candidato errou todas as respostas.
B) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas.
C) um candidato acertou todas as respostas.
D) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas.
E) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.

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A alternativa correta é letra B

Como cada questão admite 3 possibilidades de resposta, o número total de respostas distintas para a prova é:

3⁵ = 243

Como 250 candidatos fizeram a prova, pelo menos 2 candidatos assinalaram as mesmas alternativas.

Alternativa B.

47) Considere os algarismos 2, 3, 5, 7 e 11. A quantidade total de números distintos que se obtêm multiplicando-se dois ou mais destes algarismos, sem repetição, é

A) 120.
B) 52.
C) 36.
D) 26.
E) 21.

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A alternativa correta é letra D

A quantidade de números distintos obtidos multiplicando os algarismos dados pode ser calculada como:

1- Números distindos provindos da multiplicação entre 2 algarismos: 10

[(2x3); (2x5); (2x7); (2x11); (3x5); (3x7); (3x11); (5x7); (5x11); (7x11)]

2- Números distindos provindos da multiplicação entre 3 algarismos: 10

[(2.3.5); (2.3.7); (2.3.11); (2.5.7); (2.5.11); (2.7.11); (3.5.7); (3.5.11); (3.7.11); (5.7.11)]

3- Números distindos provindos da multiplicação entre 4 algarismos: 5

[(2.3.5.7); (2.3.5.11); (2.3.7.11); (2.5.7.11); (3.5.7.11)]

4-Números distindos provindos da multiplicação entre 5 algarismos: 1

[(2.3.5.7.11)]

Portanto temos que a quantidade total de números seria: 10+10+5+1 = 26, o que remete à alternativa D.

48) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegad

A) com um aperto de mão e se despedem (na saíd

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A alternativa correta é letra B

Considerando x o número de mulheres presentes, o número de homens será 37-x. Logo, o número de pares (homem 1; homem 2) formados por homens diferentes é C_(37-x),2 e o número de pares (homem; mulher) é (37-x)x.

Portanto, considerando o total de apertos de mão:

\begin{array}{l} 2 \cdot \frac{(37 - x)!}{2! \cdot (35 - x)!} + (37 - x) x = 720 \\ 2 \cdot \frac{(37 - x) (36 - x)}{2} + (37 - x) x = 720 \\ (37 - x) (36 - x + x) = 720 \\ 37 - x = 20 \\ x = 17 \end{array}

Alternativa B.

49) As urnas 1, 2 e 3 contêm, respectivamente, apenas as letras das palavras OURO, PRATA e BRONZE. Uma a uma são retiradas letras dessas urnas, ordenadamente e de forma cíclica, ou seja, a primeira letra retirada é da urna 1, a segunda é da urna 2, a terceira é da urna 3, a quarta volta a ser da urna 1, a quinta volta a ser da urna 2, e assim sucessivamente. O número mínimo de letras retiradas das urnas dessa maneira até que seja possível formar, com elas, a palavra PRAZER é igual a

A) 8.
B) 6.
C) 10.
D) 9.
E) 7.

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A alternativa correta é letra A

Para formar a palavra PRAZER é necessário uma letra P, que só pode ser obtida na urna 2, uma letra A que também só pode ser obtida na urna 2, uma letra Z que só pode ser obtida na urna 3 e uma letra E que também só pode ser obtida na urna 3.
Como apenas uma letra é retirada de cada vez, e isso acontece de forma cíclica, seria necessário termos ao menos 2 ciclos completos, ou seja, 6 retiradas.
Além disso precisaríamos ainda de duas letras R que podem ser obtidas em quaisquer das três urnas. Na melhor das hipótese, uma delas seria obtida na primeira urna, em um dos dois primeiros ciclos, mantendo o número de 6 retiradas, mas a segunda letra R, só poderia então ser obtida nas urnas 2 ou 3. Nos fazendo ter que ter mais duas ou três retiradas, pois como já sabemos, elas acontecem de forma cíclica.
Como estamos interessados no menor número possível de retiradas, a melhor situação seria se o segundo R fosse obtido na urna 2, dessa forma, teríamos apenas duas retiradas a mais, totalizando assim 8 retiradas.

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50) Admita que, dos 20 jogadores convocados pelo técnico da seleção brasileira de futebol para as 10 posições de linha, 4 sejam canhotos, 14 destros e 2 ambidestros. Nessas condições, se o técnico quiser escalar todos os jogadores que sabem chutar com a perna esquerda, o número de formas distintas com que ele poderá preencher as demais vagas da linha, não importando a ordem das posições, é igual a

A) 660.
B) 784.
C) 880.
D) 909.
E) 1001.

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A alternativa correta é letra E

Os jogadores que chutam com a perna esquerda são os 4 canhotos e os 2 ambidestros, sendo 6, no total.

Convocando esses jogadores, restam 4 vagas para os 14 demais jogadores (os destros), que podem ser combinados em:

C_{14, 4} = \frac{14!}{4! 10!} = 1001

maneiras.

Alternativa E.

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