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Questões Sobre Probabilidade - Matemática - 2º ano do ensino médio

1) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Duas bolas são extraídas ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de:

A) ambas serem vermelhas

B) ambas serem brancas

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A) A probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas é o produto da probabilidade de tirar uma bola vermelha na primeira extração e a probabilidade de tirar outra bola vermelha na segunda extração, com reposição. Como há 5 bolas vermelhas em um total de 8 bolas, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é 5/8. Portanto, a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas é:

P(vermelha, vermelha) = P(vermelha) × P(vermelha) = 5/8 × 5/8 = 25/64

B) A probabilidade de ambas as bolas serem brancas é o produto da probabilidade de tirar uma bola branca na primeira extração e a probabilidade de tirar outra bola branca na segunda extração, com reposição. Como há 3 bolas brancas em um total de 8 bolas, a probabilidade de tirar uma bola branca é 3/8. Portanto, a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é:

P(branca, branca) = P(branca) × P(branca)=3/8 × 3/8 = 9/64

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2) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Qual a probabilidade de:

A) A bola não ser amarela

B) A bola ser branca ou preta

C) A bola não ser branca, nem amarela

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A) A bola não ser amarela

A probabilidade de a bola não ser amarela é o mesmo que a probabilidade de a bola ser preta ou branca. Isso pode ser calculado usando a regra da soma:

P(bola não ser amarela) = P(bola ser preta) + P(bola ser branca)

Há 6 bolas pretas, 2 brancas e 10 amarelas na urna, totalizando 18 bolas. A probabilidade de a bola ser de uma determinada cor é o número de bolas dessa cor dividido pelo número total de bolas. Portanto:

P(bola ser preta) = 6/18 = 1/3 P(bola ser branca) = 2/18 = 1/9

Somando essas probabilidades, obtemos:

P(bola não ser amarela) = 1/3 + 1/9 = 4/9

B) A bola ser branca ou preta

A probabilidade de a bola ser branca ou preta é a mesma que a probabilidade de a bola não ser amarela, que já calculamos no item A. Portanto:

P(bola ser branca ou preta) = P(bola não ser amarela) = 4/9

C) A bola não ser branca, nem amarela

A probabilidade de a bola não ser branca, nem amarela é o mesmo que a probabilidade de a bola ser preta. Isso pode ser calculado usando a regra do complemento:

P(bola não ser branca, nem amarela) = 1 – P(bola ser branca ou amarela)

Já sabemos que a probabilidade de a bola ser branca é 1/9 e a probabilidade de a bola ser amarela é 10/18 = 5/9. Usando a regra da soma, temos:

P(bola ser branca ou amarela) = 1/9 + 5/9 = 6/9

Subtraindo essa probabilidade de 1, obtemos:

P(bola não ser branca, nem amarela) = 1 – 6/9 = 3/9 = 1/3

3) (Unesp) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é:

  • A) 1/6
  • B) 4/9
  • C) 2/11
  • D) 5/18
  • E) 3/7
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Alternativa correta letra D) 5/18.

Para resolver esse problema, precisamos saber como calcular a probabilidade da união de dois eventos, ou seja, a probabilidade de que ocorra pelo menos um dos eventos. A fórmula para isso é:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Onde A e B são os eventos, P (A) e P (B) são as probabilidades de cada evento ocorrer, e P (A ∩ B) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem ao mesmo tempo.

No caso do lançamento de dois dados, o espaço amostral é o conjunto de todos os pares possíveis de números nas faces superiores dos dados. Existem 6 x 6 = 36 pares possíveis, cada um com a mesma probabilidade de 1/36.

O evento A é obter a soma igual a 7. Isso pode acontecer de seis maneiras diferentes: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6, 1). Portanto, a probabilidade de A é 6/36 = 1/6.

O evento B é obter a soma igual a 9. Isso pode acontecer de quatro maneiras diferentes: (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6, 3). Portanto, a probabilidade de B é 4/36 = 1/9.

O evento A ∩ B é obter a soma igual a 7 e 9 ao mesmo tempo. Isso é impossível, pois não há nenhum par de números que satisfaça essa condição. Portanto, a probabilidade de A ∩ B é 0.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) P (A ∪ B) = 1/6 + 1/9 – 0 P (A ∪ B) = 5/18

Portanto, a probabilidade de obter a soma igual a 7 ou 9 no lançamento de dois dados é 5/18.

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4) (Mackenzie) Numa caixa A, temos um dado preto e outro branco e, numa caixa B, dois dados brancos e um preto. Escolhida ao acaso uma caixa, se retirarmos dela, também ao acaso, um dado, então a probabilidade de termos um dado branco com o número 2 é:

  • A) 1/12
  • B) 1/36
  • C) 5/72
  • D) 7/72
  • E) 3/24
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A alternativa correta é a letra D) 7/72.

A probabilidade de termos um dado branco com o número 2 é igual à soma das probabilidades de escolher a caixa A e tirar o dado branco com o número 2, mais a probabilidade de escolher a caixa B e tirar o dado branco com o número 2.

Para calcular essas probabilidades, podemos usar a regra do produto, que diz que a probabilidade de dois eventos independentes acontecerem é igual ao produto das probabilidades de cada evento

Assim, temos:

  • Probabilidade de escolher a caixa A e tirar o dado branco com o número 2 = (1/2) x (1/2) x (1/6) = 1/24
  • Probabilidade de escolher a caixa B e tirar o dado branco com o número 2 = (1/2) x (2/3) x (1/6) = 1/18

Somando essas probabilidades, obtemos:

  • Probabilidade de termos um dado branco com o número 2 = 1/24 + 1/18 = 7/72

5) (Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale

  • A) 1/6
  • B) 2/9
  • C) 4/9
  • D) 16/81
  • E) 20/81
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A alternativa correta é a letra A) 1/6.

A probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas é dada pela fórmula:

P(BB) = P(B1) * P(B2|B1)

Onde:

  • P(BB) é a probabilidade de retirar duas bolas brancas.
  • P(B1) é a probabilidade de retirar uma bola branca na primeira vez.
  • P(B2|B1) é a probabilidade de retirar uma bola branca na segunda vez, sabendo que a primeira foi branca.

Como a urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas, temos que:

  • P(B1) = 4/9, pois há 4 bolas brancas entre 9 bolas totais.
  • P(B2|B1) = 3/8, pois após retirar uma bola branca, restam 3 bolas brancas entre 8 bolas totais.

Substituindo na fórmula, obtemos:

  • P(BB) = 4/9 * 3/8
  • P(BB) = 12/72
  • P(BB) = 1/6

Portanto, a probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas vale 1/6.

Uma outra solução seria:

A probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Como as bolas são sacadas sem reposição, o número de casos possíveis é o número de maneiras de escolher duas bolas entre as nove disponíveis, ou seja, uma combinação de 9 elementos tomados 2 a 2. Isso pode ser calculado usando a fórmula:

Fórmula para encontra o número de casos possíveis de retirar as bolas

onde n! é o fatorial de n, definido como o produto de todos os números naturais de 1 até nn. Assim, temos:

Número total de possibilidades de se retirar as bolas

O número de casos favoráveis é o número de maneiras de escolher duas bolas brancas entre as quatro disponíveis, ou seja, uma combinação de 4 elementos tomados 2 a 2. Usando a mesma fórmula, temos:

Número de casos favoráveis de se retirar as bolas

Portanto, a probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas é:

Probabilidade de se retirar as duas bolas brancas

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6) (Puccamp) Em uma urna há 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Um amigo me propõe o seguinte jogo: – “Sorteie 3 bolas. Se a soma dos números nelas marcados for menor que ou igual a 9, você ganha. Caso contrário, você perde.” Nesse jogo, a probabilidade de que eu ganhe é

  • A) 1/30
  • B) 1/24
  • C) 1/20
  • D) 7/120
  • E) 7/720
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A resposta correta é a letra D) 7/120

Uma forma de resolver essa questão é considerar que existem apenas 7 combinações de 3 bolas cuja soma dos números é menor ou igual a 9, como por exemplo:

1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 5 = 8
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 4 = 8
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9

O número total de combinações possíveis de 3 bolas é dado pelo coeficiente binomial de 10 sobre 3, que é:

C(10,3) = 10! / (3! x (10 – 3)!) = 120

A probabilidade é então a razão entre os casos favoráveis e o número total de casos, ou seja:
P = 7 / 120

7) (Mackenzie) 4 homens e 4 mulheres devem ocupar os 8 lugares de um banco. A probabilidade de que nunca fiquem lado a lado duas pessoas do mesmo sexo é:

  • A) 1/56
  • B) 1
  • C) 1/16
  • D) 1/32
  • E) 1/35
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A resposta correta é a letra E) 1/35

Existem duas maneiras de arranjar os 8 lugares de um banco de forma que nunca fiquem lado a lado duas pessoas do mesmo sexo: alternando homens e mulheres, como MHMHMHMH ou HMHMHMHM. Nesses casos, os homens podem trocar de lugar entre si, e as mulheres também, sem alterar a condição. Portanto, o número de casos favoráveis é dado por:

casos favoráveis = 2 x (4! x 4!) = 2 x (24 x 24) = 1152

O número total de casos possíveis é dado pelo número de maneiras de arranjar 8 pessoas em 8 lugares, ou seja, o fatorial de 8:

casos totais = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

A probabilidade é dada pela razão entre os casos favoráveis e os casos totais:

probabilidade = casos favoráveis / casos totais = (2 x 4! x 4!) / 8! = 1 / 35

 

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8) (Mackenzie) Num grupo de 12 professores, somente 5 são de matemática. Escolhidos ao acaso 3 professores do grupo, a probabilidade de no máximo um deles ser de matemática é:

  • A) 3/11.
  • B) 5/11.
  • C) 7/11.
  • D) 8/11.
  • E) 9/11.
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A resposta correta é a alternativa C) 7/11.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a probabilidade de escolher 3 professores do grupo de 12, de modo que no máximo um deles seja de matemática. Isso significa que podemos ter duas situações possíveis: ou escolhemos 1 professor de matemática e 2 de outras disciplinas, ou escolhemos 3 professores de outras disciplinas.

Para calcular a probabilidade de cada situação, usamos a fórmula da combinação, que é uma forma de contar quantos subconjuntos diferentes podemos formar com um conjunto maior, sem levar em conta a ordem dos elementos. A fórmula da combinação é:

Fórmula da combinação

Onde n é o número de elementos do conjunto maior, e p é o número de elementos do subconjunto.

No nosso caso, temos que n=12, pois é o número total de professores do grupo, e p=3, pois é o número de professores que vamos escolher. Então, o número total de combinações possíveis é:

Número de combinações possíveis de escolher 3 professores

Agora, vamos calcular a probabilidade de escolher 1 professor de matemática e 2 de outras disciplinas. Para isso, temos que multiplicar a combinação de 1 professor de matemática entre os 5 disponíveis pela combinação de 2 professores de outras disciplinas entre os 7 disponíveis. Ou seja:

Número de possibilidades de escolher 1 professor de matemática e 2 de outras disciplinas

Portanto, a probabilidade de escolher 1 professor de matemática e 2 de outras disciplinas é:

P1 = 105/220 = 21/44

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de escolher 3 professores de outras disciplinas. Para isso, temos que fazer a combinação de 3 professores entre os 7 disponíveis. Ou seja:

Combinação de escolher 3 professores dentre 7

Portanto, a probabilidade de escolher 3 professores de outras disciplinas é:

P2 = 35/220 = 7/44

Finalmente, para calcular a probabilidade de no máximo um professor ser de matemática, temos que somar as probabilidadesdas duas situações possíveis. Ou seja:

P = P1 + P2 = 21/44 + 7/44 = 28/44 = 7/11

Assim, a resposta correta é a alternativa C) 7/11.

9) (Fei) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é:

  • A) 13/72
  • B) 1/18
  • C) 5/18
  • D) 1/9
  • E) 1/4
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A alternativa correta é a letra C) 5/18

A probabilidade de ambas as bolas serem da mesma cor é dada pela soma das probabilidades de cada cor possível, ou seja:

P(mesma cor) = P(verde e verde) + P(amarelo e amarelo) + P(preto e preto)

Para calcular a probabilidade de cada cor, precisamos usar a regra do produto e a regra da contagem, considerando que não há reposição das bolas. Por exemplo, a probabilidade de tirar duas bolas verdes é:

P(verde e verde) = P(verde na primeira retirada) x P(verde na segunda retirada)

P(verde na primeira retirada) = 3/9, pois há 3 bolas verdes em um total de 9 bolas.

P(verde na segunda retirada) = 2/8, pois após retirar uma bola verde, restam 2 bolas verdes em um total de 8 bolas.

P(verde e verde) = 3/9 x 2/8 = 6/72

Da mesma forma, podemos calcular as probabilidades das outras cores:

P(amarelo e amarelo) = 4/9 x 3/8 = 12/72

P(preto e preto) = 2/9 x 1/8 = 2/72

Somando as probabilidades, obtemos:

P(mesma cor) = 6/72 + 12/72 + 2/72 = 20/72

Simplificando a fração, chegamos à resposta final:

P(mesma cor) = 5/18

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10) (Cesgranrio) Uma turma tem 25 alunos, dos quais 40% são meninas. Escolhendo-se, ao acaso, um dentre todos os grupos de 2 alunos que se pode formar com os alunos dessa turma, a probabilidade de que este seja composto por uma menina e um menino é de:

  • A) 1/6
  • B) 1/5
  • C) 1/4
  • D) 1/3
  • E) 1/2
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A alternativa correta é a letra E) 1/2.

A probabilidade de escolher um grupo de 2 alunos composto por uma menina e um menino é dada pela razão entre o número de grupos possíveis com essa composição e o número total de grupos de 2 alunos que se pode formar com os 25 alunos da turma.

O número de meninas na turma é 40% de 25, ou seja, 10. O número de meninos é 25 – 10, ou seja, 15.

O número de grupos possíveis com uma menina e um menino é dado pelo produto entre o número de maneiras de escolher uma menina entre as 10 e o número de maneiras de escolher um menino entre os 15. Isso é igual a 10 x 15, ou seja, 150.

O número total de grupos de 2 alunos que se pode formar com os 25 alunos da turma é dado pelo coeficiente binomial 25 escolhe 2, que é igual a 25 x 24 / 2, ou seja, 300.

Portanto, a probabilidade de escolher um grupo de 2 alunos composto por uma menina e um menino é 150 / 300, ou seja, 1/2.

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