Questões Sobre Probabilidade - Matemática - 2º ano do ensino médio

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1) Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do que 3 é igual a

A) 1/3.
B) 1/5.
C) 1/7.
D) 1/9.

A alternativa correta é letra D

A probabilidade de obter números menores que 3 é

\frac{1}{3}

.

Como o dado será jogado duas vezes então,

\frac{1}{3} x \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

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2) Em uma urna há dezoito bolas amarelas, algumas bolas vermelhas e outras bolas brancas, todas indistinguíveis pelo tato, e sabe-se que a quantidade de bolas brancas é igual ao dobro das vermelhas.

Se a probabilidade de se retirar, ao acaso, uma bola amarela da urna é 25, a quantidade de bolas vermelhas que há na urna é

A) 8.
B) 9.
C) 12.
D) 18.
E) 24.

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A alternativa correta é letra B

Temos:

n_A = 18 bolas
n_V = V
n_B = 2V

onde n_A, n_V e n_B são, respectivamente, o número de bolas amarelas, vermelhas e brancas.

Como as chances são as mesmas de pegar qualquer bola, e as chances de pegar uma bola amarela são

\frac{2}{5}

do total, temos:

18 = \frac{2}{5} n_{T} \Rightarrow n_{T} = 45 b o l a s

onde n_T é o número total de bolas na urna.

Somando todas as bolas:

18 + V + 2 V = 45 \Rightarrow V = 9

Como n_V = V = 9, há 9 bolas vermelhas na urna.

Alternativa B.

3) Inserindo-se 3 moedas, uma de cada vez, a probabilidade de que a máquina libere 3 bolas, sendo apenas duas delas brancas, é aproximadamente de:

A) 0,008
B) 0,025
C) 0,040
D) 0,072

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A alternativa correta é letra B

A Probabilidade de tirarmos duas bolas brancas seguidas e uma terceira bola de outra cor é de

\frac{10}{100} . \frac{9}{99} . \frac{90}{98}

; a probabilidade de tirarmos uma bola branca, uma bola de outra cor e uma branca é de

\frac{10}{100} . \frac{90}{99} . \frac{9}{98}

e a probabilidade de tirarmos uma bola não branca e depois duas brancas é de

\frac{90}{100} . \frac{10}{99} . \frac{9}{98}

. Portanto a probabilidade de tirarmos apenas duas brancas é de

3 . \frac{10}{100} . \frac{9}{99} . \frac{90}{98} = 0, 025

aproximadamente.

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4) Três dados honestos são lançados. A probabilidade de que os três números sorteados possam ser posicionados para formar progressões aritméticas de razão 1 ou 2 é

A) $\frac{1}{36}$ .
B) $\frac{1}{9}$ .
C) $\frac{1}{6}$ .
D) $\frac{7}{36}$ .
E) $\frac{5}{18}$ .

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A alternativa correta é letra C

As possibilidades para que os dados formem uma PA de razão 1 são: (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6); e para que formem uma PA de razão 2, temos: (1,3,5), (2,4,6).

Temos que levar em consideração que os números podem ser sorteados em qualquer ordem, portanto, temos:

\begin{array}{l} 3! . \frac{4 + 2}{6 . 6 . 6} = \\ 3! . \frac{6}{216} = \\ 6 . \frac{6}{216} = \frac{36}{216} = \frac{1}{6} . \end{array}

Assim, a probabilidade é

\frac{1}{6}

, o que nos remete à alternativa C.

5) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1/3?

A) 2.
B) 4.
C) 6.
D) 8.
E) 10.

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A alternativa correta é letra B

Para resolvermos essa questão devemos ter o seguinte raciocínio. Seja 6 a quantidade de bolas azuis, como dito no enunciado, e n a quantidade de bolas vermelhas.
O primeiro evento é retirar uma bola azul.
O espaço amostral é a quantidade total de bolas, e o número do evento é a quantidade de bolas azuis.

A_{1} = \frac{6}{6 + n}

Levando em consideração que Joana retira uma bola azul, sobram dentro do saco 5 bolas azuis.
O segundo evento é retirar uma bola azul novamente.
O espaço amostral é a nova quantidade total de bolas dentro do saco, e o número do evento é a nova quantidade de bolas azuis.

A_{2} = \frac{5}{5 + n}

Como os dois eventos devem acontecer, a probabilidade do evento final calculada através do produto dos eventos.

A_{1} . A_{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{6}{6 + n} . \frac{5}{5 + n} = \frac{1}{3} n^{2} + 11 n - 60 = 0 n = - 15 o u 4

Como n é a quantidade de bolas vermelhas, pode-se desprezar o -15, restando apenas 4.

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6) O resultado de uma pesquisa publicada pelo jornal Folha de São Paulo de 27 de julho de 2008 sobre o perfil do jovem brasileiro mostra que 25% estudam e trabalham, 60% trabalham e 50% estudam. A probabilidade de que um jovem brasileiro, escolhido ao acaso, não estude e não trabalhe é:

A) 10%.
B) 15%.
C) 20%.
D) 25%.
E) 30%.

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A alternativa correta é letra B

Considerando que 60% trabalha e 50% estuda, e lenvado-se em consideração que 25% fazem as duas coisas, podemos considerar que 60% só trabalham e 50%-25%=25% só estudam. Portanto a probabilidade de escolher um jovem que não trabalhe e nem estude é de 100%-60%-25%=15%.

7) Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da figura I, totalmente preenchidas com os algarismos 1, 2, 3 e 4, de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos.

Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da figura I, totalmente preenchidas com os algarismos 1, 2, 3 e 4, de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos.

A probabilidade de se retirar dessa urna, aleatoriamente, uma cartela contemplando a configuração da figura II, com a exigência adicional de que cada coluna (vertical) e cada um dos subquadrados destacados contenham todos os algarismos (1, 2, 3 e 4) é:

A) $\frac{1}{12.4! 4! 4!}$
B) $\frac{1}{16.4! 4! 4!}$
C) $\frac{1}{18.4! 4! 4!}$
D) $\frac{1}{20.4! 4! 4!}$
E) $\frac{1}{4! 4! 4! 4!}$

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A alternativa correta é letra A

O total de maneiras de preencher uma cartela com os algorismos 1, 2, 3 e 4 na horizontal, para cada linha há 4! possibilidades, assim o espaço amostral é 4! 4! 4! 4!

Na primeira linha, haveria 2 possibilidades, mas como não podemos ter outro 2 no sub-quadrado, então fica a sequência (1, 4, 3, 2)

Na segunda linha, o primeiro número é o 3, para completar o quadrado superior, o terceiro é o 1 pois ele não pode ocupar a última coluna que já tem 1, assim sendo para o último resta 4.

Na segunda e na quarta coluna só falta o número 3.

E agora, restariam 2 possibilidades para acabar de preencher. Segue que a probabilidade seria:

P = \frac{2}{4! 4! 4! 4!} = \frac{2}{24 . 4! 4! 4!} = \frac{1}{12 . 4! 4! 4!}

Alternativa A.

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8) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,

1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.

Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a

A) 928
B) 1152
C) 1828
D) 2412
E) 3456

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A alternativa correta é letra E

Para acomodar os três membros da familia Sousa em um mesmo banco, existem três bancos e a posição dos membros nos assentos podem ser permutadas:

3 . 3! = 18 possibilidades

Para acomodar Lúcia e Mauro, nos 2 bancos restantes, existem duas maneiras de acomodá-los lado a lado em 3 assentos (à direita ou à esquerda do banco), e ainda, as permutações das posições que eles ocupam:

2 . 2 . 2! = 8 possibilidades

Para acomodar as 4 pessoas restantes, em 4 lugares distintos, existem apenas as possibilidades de permutação de suas posições:

4! = 24 possibilidades

Portanto pelo PFC, temos:

18 . 8 . 24 = 3456 maneiras.

Alternativa E.

9) Uma prova consta de 6 testes de múltipla escolha, com 3 alternativas cada um e apenas uma correta. Se um aluno “chutar” as respostas de cada teste, isto é, escolher como correta uma alternativa ao acaso em cada teste, a probabilidade de que acerte ao menos um teste é:

A) $\frac{665}{729}$ .
B) $\frac{660}{729}$ .
C) $\frac{655}{729}$ .
D) $\frac{650}{729}$ .
E) $\frac{645}{729}$ .

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A alternativa correta é letra A

Como são três alternativas para cada questão, a probabilidade do aluno optar pela alternativa correta é

\frac{1}{3}

e a probabilidade do aluno optar por uma alternativa incorreta é

\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

.
Portanto, a probabilidade do aluno errar todas as questões é equivalente a

\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2^{6}}{3^{6}} = \frac{64}{729}

Queremos saber qual a probabilidade do aluno acertar pelos menos 1 teste, então devemos descontar a probabilidade de erro desse teste para encontrar a probabilidade de acerto

1 - \frac{64}{729} = \frac{665}{729}

Alternativa A.

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10) A urna I tem duas bolas vermelhas, a urna II tem duas bolas brancas e a urna III tem uma bola branca e outra vermelha. Sorteia-se uma urna e dela uma bola. Se a bola sorteada for vermelha, qual a probabilidade de que tenha vindo da urna I?

A) $\frac{4}{5} .$
B) $\frac{2}{3} .$
C) $\frac{1}{2} .$
D) $\frac{5}{6} .$
E) $\frac{3}{4} .$

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A alternativa correta é letra B

Das 3 bolas vermelhas duas são da urna I. Se a bola sorteada for vermelha, a probabilidade de que tenha vindo da urna I é

\frac{2}{3}

. Portanto a resposta é a letra B.

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