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Considerando a Terra uma esfera homogênea (densidade constante) de raio R, determine a profundidade h′ em que deve ser colocado um corpo de massa m para que o seu peso seja o mesmo quando estiver situado a uma altura h da superfície da Terra.
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
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Resposta:
A alternativa correta é letra A
O peso de um corpo é calculado através da força gravitacional entre o corpo, e o planeta, estrela, enfim, que ele está inserido.
A força gravitacional é dado pela seguinte expressão:
F = -GMm/d²
Donde F é a força gravitacional, G é a constante gravitacional universal, M é a massa do planeta, estrela, etc. A massa m é do corpo em questão e d é a distância entre os corpos.
A força gravitacional quando o corpo está a R + h é:
F = -GMm/(R + h)²
Donde M é a massa da Terra.
A massa pode ser escrita em termos da densidade e do volume:
ρ = M/V => M = ρV
Donde ρ é a densidade, M é a massa e V é o volume. Como a Terra é uma esfera, temos:
V = 4πR³/3
Donde V é o volume e R é o raio.
M = 4ρπR³/3
F = -G4ρπR³m/3(R + h)²
Para o caso em que a massa m está a R - h', temos:
M' = 4ρπ(R - h')³/3
Note que a massa do planeta depende do raio.
F' = -G4ρπ(R - h')³m/3(R - h')²
Como queremos que o peso seja o mesmo, devemos ter F = F', logo:
-G4ρπR³m/3(R + h)² = -G4ρπ(R - h')³m/3(R - h')²
Multiplicando ambos os lados por -3/G4ρπm, temos:
R³/(R + h)² = (R - h') => h' = R - R³/(R + h)²
Alternativa A)
A força gravitacional é dado pela seguinte expressão:
F = -GMm/d²
Donde F é a força gravitacional, G é a constante gravitacional universal, M é a massa do planeta, estrela, etc. A massa m é do corpo em questão e d é a distância entre os corpos.
A força gravitacional quando o corpo está a R + h é:
F = -GMm/(R + h)²
Donde M é a massa da Terra.
A massa pode ser escrita em termos da densidade e do volume:
ρ = M/V => M = ρV
Donde ρ é a densidade, M é a massa e V é o volume. Como a Terra é uma esfera, temos:
V = 4πR³/3
Donde V é o volume e R é o raio.
M = 4ρπR³/3
F = -G4ρπR³m/3(R + h)²
Para o caso em que a massa m está a R - h', temos:
M' = 4ρπ(R - h')³/3
Note que a massa do planeta depende do raio.
F' = -G4ρπ(R - h')³m/3(R - h')²
Como queremos que o peso seja o mesmo, devemos ter F = F', logo:
-G4ρπR³m/3(R + h)² = -G4ρπ(R - h')³m/3(R - h')²
Multiplicando ambos os lados por -3/G4ρπm, temos:
R³/(R + h)² = (R - h') => h' = R - R³/(R + h)²
Alternativa A)
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