Questões Sobre Cilindros - Matemática - 3º ano do ensino médio

Continua após a publicidade..

1) Considere o losango cujos lados medem 6 cm e um dos ângulos internos mede 60°. A rotação desse losango em torno de um de seus lados gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é

A) $146 \sqrt{3} π$ .
B) $162 π$ .
C) $162 \sqrt{3} π$ .
D) $178 π$ .
E) $178 \sqrt{3} π$ .

A alternativa correta é letra B

Observando o sólido obtido pela rotação temos

Que tem a área equivalente a um cilindro de altura 6 cm. Para determinar o raio da base BF observemos que

s e n 60 ° = \frac{B F}{6}

, portanto BF=6.sen60°=

\frac{6 \sqrt{3}}{2}

Sendo assim, obtemos o volume:

V = {(\frac{6 \sqrt{3}}{2})}^{2} π . 6 = 162 π

cm³.

Continua após a publicidade..

2) A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo,

A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo,

com uma base no solo, e de um semicilindro.

Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm³, é

A) 11 000 $π$ .
B) 10 000 $π$ .
C) 5 500 $π$ .
D) 5 000 $π$ .
E) 1 100 $π$ .

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A

Observe que o volume do bloco de concreto mostrado na figura é igual a soma da metade do volume de um cilindro circular oblíquo, cujo raio da base mede 10 cm e a altura mede 20 cm, com um cilindro circular oblíquo com 10 cm de raio da base e 100 cm de altura.

Logo, o volume V, em centímetros cúbicos desse bloco de concreto é dado por:

V = \frac{π \cdot 10^{2} \cdot 20}{2} + π \cdot 10^{2} \cdot 100 V = 10000 π + 1000 π V = 11000 π

3) Segundo dados do Banco Central do Brasil, as moedas de 1 centavo e de 5 centavos são feitas do mesmo material, aço revestido de cobre, e ambas têm a mesma espessura de 1,65 mm. Sabendo que a massa de cada moeda é diretamente proporcional ao seu volume, que as massas das moedas de 1 centavo e de 5 centavos são respectivamente 2,4 g e 4,1 g, e que o diâmetro da moeda de 1 centavo é de 17 mm, assinale a alternativa que corresponde à medida que mais se aproxima do diâmetro da moeda de 5 centavos.

A) 20 mm.
B) 22 mm.
C) 24 mm.
D) 26 mm.
E) 28 mm.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B

A densidade é definida como:

d = \frac{m}{V} o n d e \{\begin{cases} m : m a s s a \\ V : v o l u m e \end{cases}

A moeda pode ser considerada um cilindro, e seu volume é calculado da seguinte maneira:

V = A_{b} h o n d e \{\begin{cases} A_{b} : á r e a d a b a s e \\ h : a l t u r a (e s p e s s u r a) \end{cases}

A área da base é a área de um círculo:

A_{b} = π R ² \Rightarrow V = π R ² h O u s e j a, p a r a a m o e d a d e 1 c e n t a v o : V_{1} = π R_{1}^{2} h e p a r a a m o e d a d e 5 c e n t a v o s : V_{5} = π R_{5}^{2} h

Utilizando a relação de densidade e observando que ela é a mesma para ambas as moedas, já que são feitas do mesmo material:

\frac{m_{1}}{V_{1}} = \frac{m_{5}}{V_{5}} \Rightarrow \frac{m_{1}}{π R_{1}^{2} h} = \frac{m_{5}}{π R_{5}^{2} h} E n t ã o : \frac{m_{1}}{R_{1}^{2}} = \frac{m_{5}}{R_{5}^{2}}

Como o raio é metade do diâmetro, ficamos com:

\frac{m_{1}}{{(\frac{D_{1}}{2})}^{2}} = \frac{m_{5}}{{(\frac{D_{5}}{2})}^{2}} \Rightarrow \frac{m_{1}}{D_{1}^{2}} = \frac{m_{5}}{D_{5}^{2}}

Portanto:

D_{5} = D_{1} \sqrt{\frac{m_{5}}{m_{1}}}

Substituindo os valores:

D_{5} = 22, 22 m m

Alternativa B.

Continua após a publicidade..

4) Um cilindro circular reto de altura igual ao diâmetro da base está inscrito em um cone circular reto. O cone tem diâmetro 10, altura 12 e seu eixo de revolução coincide com o do cilindro. O diâmetro da base do cilindro é igual a

A) $16 over 3$
B) $60 over 11$
C) 6.
D) $25 over 4$
E) 7.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B

Sendo r, o raio da base do cilindro, pela semelhança entre os triângulos VAB e VCD, temos:

fraction numerator 12 space minus space 2 r over denominator r end fraction equals 12 over 5 left right double arrow space r equals 30 over 11

Logo, o diâmetro da base do cilindro é igual a

2 . r =

60 over 11

Resposta pesquisada na internet; Fonte Objetivo.

5) Para a obtenção do índice pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado pluviômetro.

A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de captação de 0,5m² e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm.

Considere que cada milímetro de água da chuva depositado no cilindro equivale a 1 L/m². No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, aproximadamente:

A) 15
B) 25
C) 35
D) 45

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A

Por informações podemos relacionar os mm de chuva com o volume de chuva da seguinte maneira:

\frac{1 m m}{90 m m} = \frac{1 L / m^{2}}{x} x = 90 L / m^{2}

Já a quantidade de volume a entrar no indice depende da área de captação, nesse caso:

V = x . A V = 90.0, 5 V = 45 L

Com o volume total podemos obter a altura do cilindro(lembrando que 1L = 1dm³ e 10 cm =1 dm):

V = {πR}^{2} . h 45 = π . (1)^{2} . h h ≃ 15 dm

Alternativa correta é a Letra A

Continua após a publicidade..

6) Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras.

Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do sólido fotografado, em m³, é igual a

A) 2(14 + 2 $π$ ).
B) 2(14 + $π$ ).
C) 2(14 – $π$ ).
D) 2(21 – $π$ ).
E) 2(21 – 2 $π$ ).

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E

Como a escala é 1:100 isso significa que cada centímetro na fotografia representa 100 centímetros no sólido real, ou seja, 1 m. O volume do sólido será o volume do paralelepípedo menos o volume de um semicilindro.

O volume do paralelepípedo será de V_P=7.3.2=42 m³.

O volume do semicilindro será V_c=(

π

.2².2)/2=4

π

m³.

O volume d sólido será 42-4

π

=2(21-2

π

) m³.

7) Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a

A) $\frac{4 \sqrt{2}}{3} .$
B) $\frac{4}{3} .$
C) $\frac{3 \sqrt{2}}{4} .$
D) $\sqrt{2} .$

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A

Primeiro devemos calcular dois volumes, o da esfera e o do cilindro, e depois dividir um pelo outro, respectivamente.
O volume de uma esfera sempre pode ser calculado como

\frac{4 {πR}^{3}}{3}

, sendo R o raio da esfera.
E o volume do cilindro é

{πr}^{2} h

, em que r é o raio, e h é a altura do cilindro.
Agora precisamos analisar as condições do enunciado, como o cilindro está inscrito na esfera, podemos obter algumas informações adicionais.

Olhando o esboço, é possível perceber que temos um triângulo retângulo cujos lados são 2R, 2r e h.
Como a altura é sempre perpendicular a base, o ângulo entre esses dois lados é reto, o que faz com que 2R seja a hipotenusa.
De acordo com o enunciado, a altura é igual ao diâmetro da base do cilindro (2r), sendo assim, esse triângulo é também isósceles, pois dois de seus lados são iguais, e consequentemente, dois de seus ângulos também. Devem ser eles iguais a 45º, uma vez que a soma de todos os ângulos de um triângulo é sempre igual a 180º.
Sendo assim, temos que:

\cos (45 º) = \frac{2 r}{2 R} = \frac{\sqrt{2}}{2} = > \frac{r}{R} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Finalmente, vamos calcular a divisão pedida, já que já temos os volumes:

\frac{V e s f e r a}{V c i l i n d r o} = \frac{\frac{4 {πR}^{3}}{3}}{{πr}^{2} 2 r} = \frac{4 {πR}^{3}}{6 {πr}^{3}} = \frac{2}{3} {(\frac{R}{r})}^{3}

Usando a relação que obtivemos com o cosseno:

\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{2}}{2} 2 r = \sqrt{2} R \frac{R}{r} = \frac{2}{\sqrt{2}} \frac{R}{r} = \sqrt{2}

Portanto,

\frac{V e s f e r a}{V c i l i n d r o} = \frac{2}{3} {(\frac{R}{r})}^{3} = \frac{2}{3} {(\sqrt{2})}^{3} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}

Alternativa A.

Continua após a publicidade..

8) Um cilindro tem área total de 16 π m². Se o raio mede um terço da altura a área lateral do cilindro é:

A) 6 π m².
B) 12 π m².
C) 16 π m².
D) 20 π m².
E) 24 π m².

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B

A área total de um cilindro é dada pela soma das áreas das bases e lateral, ou seja,

A_{T} = 2 . A_{b} + A_{L}

Além disso, devemos recordar as fórmulas das áreas da base e lateral

A_{b} = π r^{2} A_{L} = 2 . π . r . h

Substituindo os valores fornecidos no enunciado na fórmula da área total teremos:

A_{T} = 16 π e h = 3 r 16 π = 2 . π . r^{2} + 2 π . r . 3 r 16 = 2 r^{2} + 6 r^{2} r^{2} = \frac{16}{8} r = \sqrt{2} A_{L} = 2 π \sqrt{2} . 3 \sqrt{2} = 12 π

Alternativa B.

9) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento

à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm³ = 1 ml, e usando a aproximação π = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente,

A) 120.
B) 150.
C) 160.
D) 240.
E) 360.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A

De acordo com o enunciado, a taxa de vazão do medicamento é de 1,5 mL/min, durante 4h de administração contínua, ou seja, 4.60 = 240 min. Sendo assim, nesse intervalo de tempo foram consumidos, do medicamento, 240.1,5 = 360 mL.

Para o cálculo do volume do recipiente, deve-se dividí-lo em duas partes, a cônica, que chamaremos de parte 1, e a cilíndrica, que chamaremos de parte 2. O volume de cada uma das partes é dada por:

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4^{2} \cdot 3 V_{1} = 16 \cdot π V_{1} ≅ 48 {cm}^{3}

V_{2} = π \cdot r^{2} \cdot h V_{2} = π \cdot 4^{2} \cdot 9 V_{2} = 144 \cdot π V_{2} ≅ 432 {cm}^{3}

Sendo assim, o volume total do recipiente é dado por:

V_{T} = V_{1} + V_{2} V_{T} = 48 + 432 V_{T} = 480 {cm}^{3}

Como 1 cm³ equivale a 1 mL,

V_{T} = 480 mL

Finalmente, temos que o volume V restante após a administração do medicamento por 4h é:

V = 480 - 360 V = 120 mL

Continua após a publicidade..

10) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 √3 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escal

A).
O volume do cilindro, em cm³, é

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D

No triângulo retângulo destacado, temos:

\begin{array}{l} r^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2} = 10^{2} \\ r = 5 c m \end{array}

Logo, temos que o volume do cilindro é:

π . 5^{2} . 20 = 500 π c m^{3}

Alternativa D.

1 2 3 Próximo »