Início » 3º ano do Ensino Médio » Matemática » Cilindros » Segundo dados do Banco Central do Brasil, as moedas de 1 centavo e de 5 centavos são feitas do mesmo material, aço revestido de cobre, e ambas têm a mesma espessura de 1,65 mm. Sabendo que a massa de cada moeda é diretamente proporcional ao seu volume, que as massas das moedas de 1 centavo e de 5 centavos são respectivamente 2,4 g e 4,1 g, e que o diâmetro da moeda de 1 centavo é de 17 mm, assinale a alternativa que corresponde à medida que mais se aproxima do diâmetro da moeda de 5 centavos.

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Segundo dados do Banco Central do Brasil, as moedas de 1 centavo e de 5 centavos são feitas do mesmo material, aço revestido de cobre, e ambas têm a mesma espessura de 1,65 mm. Sabendo que a massa de cada moeda é diretamente proporcional ao seu volume, que as massas das moedas de 1 centavo e de 5 centavos são respectivamente 2,4 g e 4,1 g, e que o diâmetro da moeda de 1 centavo é de 17 mm, assinale a alternativa que corresponde à medida que mais se aproxima do diâmetro da moeda de 5 centavos.

A) 20 mm.
B) 22 mm.
C) 24 mm.
D) 26 mm.
E) 28 mm.

Resposta:

A alternativa correta é letra B

A densidade é definida como:

d = \frac{m}{V} o n d e \{\begin{cases} m : m a s s a \\ V : v o l u m e \end{cases}

A moeda pode ser considerada um cilindro, e seu volume é calculado da seguinte maneira:

V = A_{b} h o n d e \{\begin{cases} A_{b} : á r e a d a b a s e \\ h : a l t u r a (e s p e s s u r a) \end{cases}

A área da base é a área de um círculo:

A_{b} = π R ² \Rightarrow V = π R ² h O u s e j a, p a r a a m o e d a d e 1 c e n t a v o : V_{1} = π R_{1}^{2} h e p a r a a m o e d a d e 5 c e n t a v o s : V_{5} = π R_{5}^{2} h

Utilizando a relação de densidade e observando que ela é a mesma para ambas as moedas, já que são feitas do mesmo material:

\frac{m_{1}}{V_{1}} = \frac{m_{5}}{V_{5}} \Rightarrow \frac{m_{1}}{π R_{1}^{2} h} = \frac{m_{5}}{π R_{5}^{2} h} E n t ã o : \frac{m_{1}}{R_{1}^{2}} = \frac{m_{5}}{R_{5}^{2}}

Como o raio é metade do diâmetro, ficamos com:

\frac{m_{1}}{{(\frac{D_{1}}{2})}^{2}} = \frac{m_{5}}{{(\frac{D_{5}}{2})}^{2}} \Rightarrow \frac{m_{1}}{D_{1}^{2}} = \frac{m_{5}}{D_{5}^{2}}

Portanto:

D_{5} = D_{1} \sqrt{\frac{m_{5}}{m_{1}}}

Substituindo os valores:

D_{5} = 22, 22 m m

Alternativa B.

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Resposta:

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