Questões Sobre Cones - Matemática - 3º ano do ensino médio

Vamos considerar, que h seja em cm, a altura do chope que "Purê" deve beber, para que a quantidade seja a metade do volume total:

 

 

Alternativa A.

Chamando de V_C o volume do cone de altura H, V_T o volume do troco de altura h e V_M o volume do cone de altura H-h, temos que

V_C=V_T+V_M,

ou seja,

V_T=V_C-V_M.

O exercício pede que a razão entre V_T e V_C seja 2, isto é,

$\frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{C}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{T}}}=2$.

o que implica

Mas, as bases dos cones de alturas H e h são paralelas, portanto

Isolando h, obtemos

$\mathrm{h}=\mathrm{H}\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)$.

Como o tanque é cônico de ponta cabeça podemos assumir a relação entre suas alturas e raios, cheio e na metade da altura, da seguinte forma.

Escrevendo seu volume inicial e final temos:

Resposta correta é a Letra E

A parte do sólido fora do líquido é um cone semelhante ao cone maior. Portanto, a razão entre seus volumes é igual ao cubo da razão entre a medida de suas geratrizes.

Sendo assim, o volume total V_T é igual ao volume submerso V_S mais o volume do cone menor V_C e temos $\frac{V_S+V_C}{V_C}={\left(\frac{2}{1}\right)}^3=8$ ⇒ $V_S=7V_C$. Assim, $\frac{V_S}{V}=\frac{7}{8}$.

Na planificação o valor 10 indica o comprimento da geratriz do cone. Para determinar qual a alternativa correta devemos determinar qual o raio da circunferência da base, para isso vamos observar que o arco correspondente a 252° vai ser a circunferência da base, e da relação dos ângulos desses arco conseguimos determinar uma relação para seus raios. O comprimento da circunferência é dado por $2\pi R$, onde R é o raio que queremos determinar; O comprimento do arco na planificação é dado por $\frac{252}{360}.2\pi .10$. Portanto, igualando as duas expressões obtemos R=7.

$$\begin{gathered} g^2=r^2+h^2 \\ g=\sqrt{4^2+3^2} \\ g=\pm 5 \end{gathered}$$


Deste modo, podemos fazer uma regra de três onde $2\mathrm{\pi g}$ tem um ângulo interno de 360º e $2\mathrm{\pi r}$ possui o angulo interno o qual queremos encontrar.

$$\begin{gathered} 2\mathrm{\pi g}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \to 360º \\ 2\mathrm{\pi r}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \to \mathrm{x}º \\ 2\mathrm{\pi }.5\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \to 360º \\ 2\mathrm{\pi }.4\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \to \mathrm{x}º \\ \mathrm{x}º=\frac{360\times 8}{10}=288º \end{gathered}$$

 Considerando H a altura do cilindro, e seu raio é $\frac{R}{2}$, seu volume é $\pi {\left(\frac{R}{2}\right)}^2 . h = \frac{\pi R^2 . h}{4}$

Como o volume do cone é igual ao volume do cilindro e o seu raio da base vale R, sendo x sua altura, temos:

 

Alternativa A.

 Sendo $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \mathrm{b} = \frac{3\mathrm{a}}{2}$, o cone tem raio da base $\frac{\mathrm{a}}{2}$ e altura $\frac{3\mathrm{a}}{2}$.

Logo, Vcone = $$\begin{gathered} \mathrm{\pi } \iff \frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)}^2 = \mathrm{\pi } \Rightarrow \\ \Rightarrow \mathrm{a} = 2 \mathrm{e} \mathrm{b} = \frac{3 . 2}{2} = 3. \end{gathered}$$

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo cujos catetos são o raio da base e altura do cone e a hipotenusa é a geratriz, temos:

g² = 1² + 3²

g  = $\sqrt{10}$

Alternativa D.

Calculando a geratriz g, tem-se que: g² = 8² + 6², Assim, g² = 100 e g = 10. 

 

Pensando no cone planificado sem a base, temos um setor circular de raio g e arco $2\pi R$. Assim, a área do setor circular pode ser encontrado da seguinte forma: 

$\frac{\frac{2\pi R}{g}}{2\pi }\times \pi g² = A_{lateral}$. Então, $A_{lateral}=\pi Rg$ e $A_{lateral }= 60\pi$