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Seja C um cone circular reto de altura H e raio R. Qual a altura h, a medir a partir da base, tal que a razão entre os volumes do cone e do tronco de altura h do cone seja 2?

A) $\frac{(1 - \sqrt{2})}{2} H$ .
B) $2 \sqrt{2} H$ .
C) $\frac{\sqrt[3]{2}}{2} H$ .
D) $(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}) H$ .
E) $\frac{(2 - \sqrt{2}) H}{2}$ .

Resposta:

A alternativa correta é letra D

Chamando de V_C o volume do cone de altura H, V_T o volume do troco de altura h e V_M o volume do cone de altura H-h, temos que

V_C=V_T+V_M,

ou seja,

V_T=V_C-V_M.

O exercício pede que a razão entre V_T e V_C seja 2, isto é,

\frac{V_{C}}{V_{T}} = 2

o que implica

\frac{V_{C}}{V_{C} - V_{M}} = 2 \Rightarrow V_{C} = 2 (V_{C} - V_{M}) \Rightarrow \frac{V_{C}}{V_{M}} = 2

Mas, as bases dos cones de alturas H e h são paralelas, portanto

{(\frac{H}{H - h})}^{3} = 2 \Rightarrow H = \sqrt[3]{2} H - \sqrt[3]{2} h

Isolando h, obtemos

h = H (1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}})

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Seja C um cone circular reto de altura H e raio R. Qual a altura h, a medir a partir da base, tal que a razão entre os volumes do cone e do tronco de altura h do cone seja 2?

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