Questões Sobre Estudo dos Sólidos - Matemática - 3º ano do ensino médio

Seja “a” a medida em centímetros da aresta do cubo.

I) O número de cubos será mínimo quando “a” for máximo. Como “a” é um número natural,podemos concluir que “a” é o máximo divisor comum de 60; 24; 18.
Assim, a = mdc (60; 24; 18) = 6

II) Sendo “n” o número de cubos, temos:

n . V_cubo= V_{paralelepípedo}⇒n . 6³= 60 . 24 . 18 ⇒
⇒n = 120
 

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo

Sendo V_taça o volume da taça, em centímetros cúbicos,temos:

 

 

I) Supondo-se que a proporção “ de ouro e do outro metal” seja em relação aos volumes(o que não é verdade), obtém-se a resposta C que está de acordo com o gabarito oficial. De fato, se m for a massa da taça, em gramas, temos:

 

Assim, 43200g = 43,2 kg que está entre 40kg e 45kg.

II) Considerando-se que a proporção “ de ouro e de outro metal” seja em relação às massas(que é o que consta no enunciado) a resposta seria A.

De fato:
Se m for a massa da taça, em gramas, então:
1)  m ÷ 19,3 é o volume do ouro da taça, em cm³.

2)  m ÷ 6,1 é o volume da liga da taça, em cm³.

 

⇔m . (3 . 6,1 + 1 . 19,3) = 19,3 . 6,1 . 1800 ⇔
⇔37,6 . m = 1271484 ⇔ m 33816

4) 33 816g = 33,816 kg que está entre 30kg e 35kg, conforme a alternativa A.
 

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

Sejam a a medida, em centímetros, da aresta do cubo, 

V o volume em metros cúbicos e A_t a área total em

centímetros quadrados.
Assim, 

$$\begin{gathered} V= A_t \Rightarrow (a.{10}^{-2}{)}^3 = 6 . a^2 \\ \Rightarrow a^3 . {10}^{-6} = 6 . a^2 \\ \to a = 6 . {10}^6 \end{gathered}$$
Portanto a alternativa correta é a letra E.
 

1) No triângulo DEF, retângulo em E, tem-se, em metros, DE = 15, EF = 80 – 60 = 20 e DF tal que DF²= DE²+ EF²⇔DF²= 15²+ 20²⇔ DF = 25.

2) O quadrilátero ABCD é um trapézio de bases medindo 28 m e 20 m e altura DF medindo 25 metros.A área S_ABCD, desse trapézio, em metros quadrados é

S_ABCD=
 

Reposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

     $V_{\mathrm{SE}}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}.\pi .r^3\right)=\frac{2}{3}.\pi .r^3$

Começaremos calculando os volumes dos sólidos:

$$\begin{gathered} V_{semiesf}=\frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3}{2}=\frac{2}{3}\pi R^3 \\ {V}_{cilindro}=\pi R^{2}h=\pi R^3 \\ {V}_{cone}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^3 \end{gathered}$$


Sendo:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mu }_{semiesf}:\hspace{0.17em}massa específica do líquido contido na semi-esfera \\ {\mu }_{cone}: massa específica do líquido contido no cone\\ {\mu }_{cilindro}: massa específica do líquido contido no cilindro\end{array}\right. \end{gathered}$$

e sabendo que a relação da massa específica é:

$\mu =\frac{m}{V}$

para iguais valores de massa, obtemos a seguinte relação:

$m_{semiesf}=m_{cilindro}=m_{cone} \Rightarrow$

$\Rightarrow {\mu }_{semiesf}{V}_{semiesf}={\mu }_{cilindro}{V}_{cilindro}={\mu }_{cone}{V}_{cone}$

Ou seja:

$$\begin{gathered} {\mu }_{semiesf}\left(\frac{2}{3}\cancel{\pi R^3}\right)={\mu }_{cilindro}\left(\cancel{\pi R^3}\right)={\mu }_{cone}\left(\frac{1}{3}\cancel{\pi R^3}\right) \\ \frac{2}{3}{\mu }_{semiesf}={\mu }_{cilindro}=\frac{1}{3}{\mu }_{cone} \end{gathered}$$


Reescrevendo:

$2{\mu }_{semiesf}=3{\mu }_{cilindro}={\mu }_{cone}$

Podemos perceber que a relação se satisfaz se:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mu }_{semiesf}=3 \\ {\mu }_{cilindro}=2\\ {\mu }_{cone}=6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Portanto, a substância contida no cone é a z.

Alternativa D.

A área total de um cilindro é dada por:

A área total da esfera é:

Substituindo r=H=R, R=x e igualando as áreas, temos:

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{\pi R}}^2+2{\mathrm{\pi R}}^2=4{\mathrm{\pi x}}^2 \\ 4{\mathrm{\pi R}}^2=4{\mathrm{\pi x}}^2 \\ {\mathrm{x}}^2=\frac{4{\mathrm{\pi R}}^2}{4\mathrm{\pi }} \\ {\mathrm{x}}^2={\mathrm{R}}^2 \\ \mathrm{x}= \end{gathered}$$

R

Logo, a alternativa correta é D.

Observando o objeto lateralmente, podemos dividir a imagem em um quadrado de lados iguais à base menor (b = 2m) e dois triângulos, sendo que as projeções de suas hipotenusas, que são os lados inclinados do bloco, se tocam em um ponto acima. Por semelhança de triângulos, temos que o triângulo (e também a pirâmide que esta por trás dessa representação lateral) possui uma altura de 2 metros.
Vamos calcular o volume do bloco calculando o volume da pirâmide maior e extraindo o volume do pico (pirâmide menor), como esquematiza a fórmula a seguir:

 

O volume V_E da escada, é dado pela soma dos volumes de 20 paralelepípedos retos retângulos de volumes V₁; V₂; V₃; ...; V₂₀com 50 cm de comprimento, 20 cm de largura e alturas, respectivamente, alturas iguais a: 10 cm, 20 cm, 30 cm, ..., 200 cm. Assim, o volume da escada, em centímetros cúbicos é dado por:
V_E= V₁+ V₂+ V₃+ ... + V₂₀=

= 50 . 20 . 10 + 50 . 20 . 20 + 50 . 20 . 30 + ... +

+ 50 . 20 + 200 = 50 . 20 . (10 + 20 + 30 +...+ 200) =

= 1000 .  =

Logo, V_E= 2100000 cm³= 2,1 m³