Questões Sobre Estudo dos Sólidos - Matemática - 3º ano do ensino médio

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11) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3cm. Após o gelo derreter completamente, qual é a altura aproximada do nível da água no copo?

A) 8,6 cm.
B) 27 cm.
C) 9 cm.
D) 3,14 cm.
E) 43 cm.

A alternativa correta é letra A

O volume de um cubo de gelo é:

V_{c u b o} = a ³ = 27 c m ³

onde a é a aresta do cubo (a = 3cm).
O volume preenchido do copo é devido ao volume dos 9 cubos de gelo. Portanto:

V_{c o p o} = π r ² h = 9 V_{c u b o} h = \frac{9 V_{c u b o}}{π r ²} = \frac{9 (27 c m ³)}{π (9 c m ²)} = \frac{27}{π} c m h = 8, 6 c m

Alternativa A.

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12) Na rotação do triângulo ABC da figura a seguir em torno da reta r, o lado AB descreve um ângulo de 270°. Desta forma, o sólido obtido tem volume:

A) 48 π.
B) 144 π.
C) 108 π.
D) 72 π.
E) 36 π.

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A alternativa correta é letra E

O sólido obtido corresponde à 3/4 de um cone de raio da base 6 e altura 4.
O volume de um cone é:

V_{c o n e} = \frac{1}{3} A_{b} h = \frac{1}{3} π r ² h

Como o volume do sólido é 3/4 do volume de um cone, pois só não possui a parte de sólido de revolução que vai de 270° à 360° (1/4 de volta), temos:

V_{s ó l i d o} = \frac{3}{4} V_{c o n e} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} π r ² h) = \frac{1}{4} π r ² h

Usando os valores r = 6 e h = 4, chegamos ao resultado:

V_{s ó l i d o} = 36 π

Alternativa E.

13) Leia os quadrinhos:

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm³, igual a:

A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16

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A alternativa correta é letra D

Em 20 anos, Hagar acumulou a quantidade mostrada na figura. Para calcular o volume, vamos dividir o volume em duas partes: um prisma de bas retangular e uma pirâmide.

V_{p r i s m a} = 10 [d m] 6 [d m] 4 [d m] = 240 d m ³

V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} A_{b} h = \frac{1}{3} 10 [d m] 6 [d m] 3 [d m] V_{p i r â m i d e} = 60 d m ³

O volume total adquirido em 20 anos é a soma dos volumes calculados acima:

V_{t o t a l} = V_{p r i s m a} + V_{p i r â m i d e} V_{t o t a l} = 300 d m ³

Como a questão é sobre o volume adquirido por ano, basta dividir por 20 anos:

V_{a n u a l}^{} = 15 d m ³ / a n o

Alternativa D.

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14) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.

Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é:

A) 1/5.
B) 1/4.
C) 1/3.
D) 1/2.
E) 2/3.

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A alternativa correta é letra D

O volume do cilindro é:

V_{c i l} = π r ² h = π r ² (4 r) = 4 π r ³

O volume de cada esfera é:

V_{e s f} = \frac{4}{3} π r ³

A parte vazia correspondente à diferença entre o volume do cilindro e o volume de duas esferas:

V_{v a z i o} = V_{c i l} - 2 V_{e s f} = 4 π r ³ - 2 (\frac{4}{3} π r ³) V_{v a z i o} = \frac{4}{3} π r ³

A razão entre a parte vazia e a ocupada pelas duas esferas é:

\frac{V_{v a z i o}}{2 V_{e s f}} = \frac{\frac{4}{3} π r ³}{2 (\frac{4}{3} π r ³)} = \frac{1}{2}

Alternativa D.

15) Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular, ambos maciços com raio da base r cm e altura também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a:

A) 4 cm
B) 8 cm
C) 5 cm
D) 10 cm
E) 12 cm

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A alternativa correta é letra D

Sabemos que a esfera tem 10 cm de raio, portanto, considerando a fórmula de Volume da esfera, temos:

V = \frac{4 {πr}^{3}}{3} = \frac{4 π {(10)}^{3}}{3} = \frac{4000 π}{3}

Considere as fórmulas, para determinar Volume do Cone e do cilindro circular:

V_{c i l i n d r o} = {πr}^{2} h = {πr}^{3} V_{cone} = \frac{{πr}^{2} h}{3} = \frac{{πr}^{3}}{3}

Sabemos que a soma dos dois volumes acima, deve ser igual ao volume da esfera, portanto:

\frac{{πr}^{3}}{3} + {πr}^{3} = \frac{4000 π}{3} \frac{{πr}^{3}}{3} + \frac{3 {πr}^{3}}{3} = \frac{4000 π}{3} {πr}^{3} + 3 {πr}^{3} = 4000 π 4 {πr}^{3} = 4000 π r^{3} = 1000 \Leftrightarrow r = 10

O raio e a altura do cone e do cilindro serão de 10cm.

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16) Sobre o armazenamento de mel em colmeias, tem-se que o volume V de cada alvéolo, considerado como prisma regular hexagonal reto de altura h e arestas da base iguais a l, é dado por:

A) $V = (2 + \sqrt{3}) \frac{h l ²}{2}$
B) $V = (1 + \sqrt{3}) \frac{h l ²}{2}$
C) $V = (1 + 2 \sqrt{3}) h ² l$
D) $V = 3 \sqrt{3} l ² h$
E) $V = \frac{3 \sqrt{3}}{2} l ² h$

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A alternativa correta é letra E

O volume de um prisma é dado por V = A_b.h

A área da base é a soma de 6 triângulos equiláteros de áreas At dadas por:

A_{t} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}

onde l é o lado do triângulo.

Portanto,

A_{b} = \frac{6 \sqrt{3}}{4} l^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} l^{2}

e o volume do prisma hexagonal regular é:

V = \frac{3 \sqrt{3}}{2} l^{2} h

Alternativa E.

17) O sólido da figura é formado por cubos de aresta 1 cm os quais foram sobrepostos e/ou colocados lado a lado.

Para se completar esse sólido, formando um paralelepípedo retorretângulo com dimensões 3 cm × 3 cm × 4 cm, são necessários N cubos de aresta 1 cm. O valor mínimo de N é

A) 13.
B) 18.
C) 19.
D) 25.
E) 27.

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A alternativa correta é letra D

Cada quadrado possui o volume de 1cm³
O volume total inicial é de 11 cm³
O volume total final é de 36 cm³

Por fim para saber a quantidade de cubos faltantes devemos subtrair o volume final do inicial, logo
N = 36-11=25

A alternativa correta é a Letra D

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18) Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular, ambos maciços com raio da base r cm e altura também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a:

A) 4 cm.
B) 8 cm.
C) 5 cm.
D) 10 cm.
E) 12 cm.

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A alternativa correta é letra D

Do enunciado sabemos que todo o material da esfera será utilizado, por isso, a soma dos volumes do cilindro e do cone será igual ao volume da esfera.
Encontraremos então o volume da esfera para igualar à soma dos volumes do cone e do cilindro, encontrando a altura:

V (e s f e r a) = \frac{4 {πR}^{3}}{3} = \frac{4 π {(10)}^{3}}{3} = \frac{4000 π}{3}

V (c o n e) = \frac{{πr}^{2} (r)}{3} = \frac{{πr}^{3}}{3} V (c i l i n d r o) = {πr}^{2} (r) = {πr}^{3}

V (c o n e) + V (c i l i n d r o) = \frac{{πr}^{3}}{3} + {πr}^{3} \frac{4000 π}{3} = \frac{{πr}^{3}}{3} + {πr}^{3} \frac{4000 π}{3} = \frac{{πr}^{3} + 3 {πr}^{3}}{3} 4000 π = 4 {πr}^{3} r^{3} = \frac{4000 π}{4 π} r^{3} = 1000 ∴ r = \sqrt[3]{10^{3}} = 10 cm

O raio r será de 10 cm, portanto a alternativa correta é a letra D.

19) Planta baixa de uma construção é a projeção ortogonal das paredes de sua edificação sobre o plano de seu piso. Em um anúncio de vendas, encontra-se a planta baixa de um galpão de armazenamento, cujas paredes externas apresentam as medidas indicadas na figura a seguir.

Considerando-se a altura máxima de 4 metros para o armazenamento nas salas de depósitos e desprezando-se a espessura das paredes, o volume máximo para o armazenamento nos depósitos nessas condições é, em metros cúbicos,

A) 13 800.
B) 15 400.
C) 18 600.
D) 20 600.
E) 21 800.

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A alternativa correta é letra A

Para calcular o volume dos depósitos podemos inicialmente calcular a área total dos três e depois multiplicar pela altura, logo:

A = D_{1} + D_{2} + D_{3} = 30.40 + 75.30 = 3450 m^{2} V = A . 4 = 13800 m^{3}

A alternativa correta é a Letra A

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20) Um reservatório tem forma cúbica e está totalmente cheio. Quando retirado 1 litro de água, observa-se que o nível da água abaixa em 12,5%. A medida da aresta desse reservatório em centímetros será é de:

A) 10
B) 20
C) 80
D) 21
E) 160

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A alternativa correta é letra B

O volume do cubo é dado por:

V = a.a.a = a³

onde a é a aresta do cubo.
Sabemos que 1 litro = 1 dm³. Usando (V - 1) litros para o volume do recipiente após a retirada d'água encontramos o volume em decímetro e então transformamos para centímetro.

O volume restante após a retirada d'água é:

V - 1 = a.a.(87,5%)a

Ou seja: V = 0,875 a³ + 1

Igualando as quantidades (V = V):

a³ = 0,875 a³ + 1

(0,125) a³ = 1 ⇒ a³ = 8 ⇒ a = 2 dm³

Como a resposta é dada em centímetros:

a = 20 cm

Alternativa B.

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