Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

1) x²+ y²= 2cx ⇔x2– 2cx + y²= 0

2) O centro C é dado por ; ou seja(c; 0).

3) Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então c + 2 . 0 = 3 ⇔c = 3

4) Assim, x²+ y²= 2cx ⇒x²+ y²= 2 . 3 . x ⇔
⇔x²– 6x + y²= 0 ⇔(x – 3)²+ y²= 3², cujo centro é o ponto (3; 0) e o raio 3.
 

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

Como a circunferência circunscrita em um triângulo retângulo seu diâmetro será a hipotenusa desse triângulo, logo seu centro estará no meio da hipotenusa (Meio entre os pontos (0, 12) e (5, 0) ) com valor (5/2 , 6)).

Desenhando os pontos informados temos:

Inserindo o M como ponto central da circunferência circunscrita e M' como inscrita.

Por Pitágoras, determina-se o valor da hipotenusa do triângulo. Trata-se do conhecido triângulo de lados 5, 12 e 13, logo sua hipotenusa mede 13.

Por fim podemos usar uma relação entre as áreas dos triângulos para encontrar o raio.

Podemos escrever as áreas dos 3 triângulos internos ao maior como a metade do produto de seu lado com o raio e a área do triângulo como a metade do produto de seus catetos.

Dessa forma:
$$\begin{gathered} A_t = A_1 + A_2 + A_3 \\ \raisebox{1ex}{$OA.OB$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. = \raisebox{1ex}{$OA.r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. + \raisebox{1ex}{$OB.R$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. +\raisebox{1ex}{$ BA.r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \\ \raisebox{1ex}{$12.5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. = \raisebox{1ex}{$\left(12 + 5 + 13\right).r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \\ 30 = 15 . r \\ r = 2 \end{gathered}$$

Logo a localização de M'= (2 , 2)

Por fim a distancia entre M e M' é dada por:
$$\begin{gathered} d =\sqrt{ {\left(\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.-2\right)}^2 + {\left(6-2\right)}^2} \\ d =\sqrt{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right. + 16} \\ d =\raisebox{1ex}{$\sqrt{65}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \end{gathered}$$

Resposta correta é a letra D.

Um ponto equidistante dos eixos OX e OY pertence à reta de equação y = x ou y = – x.
Para pertencer ao conjunto F dos pontos do plano cartesiano equidistantes dos eixos OX e OY e pertencentes a “circunferência” (e não de um círculo),de equação x²+ y²– 2x – 6y + 2 = 0, devemos ter:

Portanto, o conjunto F possui os pontos (2 + ; 2 + ), (2 –; 2 –), que pertencem ao 1^o. quadrante, e o ponto (– 1; 1), que pertence ao 2^o. quadrante.
 

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

Como os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem a circunferência C, devem satisfazer as equações $\left\{\begin{array}{c}(x-0{)}^2+(y-3{)}^2=r^2\\ (x+1{)}^2+(y-0{)}^2=r^2\end{array}\right.$. Simplificando e fazendo a segunda menos a primeira obtemos $3y+x-4=0.$ Como o ponto (0, 3) é o ponto de tangencia temos que os centro C₁ da circunferência C, o centro C₂ da segunda circunferência e o ponto (0, 3) são colineares. A equação da reta que passa por (0, 3) e (-1/2, 4) é dada por $y-3=\left(\frac{4-3}{-\frac{1}{2}-0}\right)(x-0)$, simplificando obtemos $y=3-2x$. Da primeira relação que obtivemos vamos isolar y e substituir na relação acima, obtendo $\frac{4}{3}-\frac{x}{3}=3-2x$. Simplificando está equação obtemos x=1, e substituindo em uma das equações acima obtemos y=1. Portanto o centro de C tem coordenadas (1, 1). Calculando a distância de (1, 1) a (0, 3) obtemos $\sqrt{(1-0{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{5}$ que é o raio de C.

 Com a circunferência λ, na equação  x²
y ²

– 2y + k = 0, temos:

 

x² + (y - 1)² = 1 - k

 

Portanto, temos o centro (0, 1) e raio $\sqrt{1 - k}$, com k < 1.

 

A reta r: 3x + 4y – 19 = 0 será tangente a λ, somente se:

Alternativa B.

  

Assim temos que o raio $r=\sqrt{10}$. Note agora que o centro da circunferência $C=(x_c, y_c)$ é o ponto médio do segmento MN, logo,
 

$x_c=\frac{3+1}{2}=2; y_c=\frac{4-2}{2}=1\Rightarrow C=(2,1)$
 

Agora basta aplicar a definição de circunferência,
 

Alternativa E.

Pelo enunciado, tem-se a seguinte figura:

 

Considerando como A a área do anel, R o raio do círculo maior, r o raio do círculo menor e x o comprimento da corda, tem-se que: 

 

No triângulo DOF (O é o centro da circunferência) tem-se que: 

A circunferência irá tangenciar o eixo y, quando x valer 0, portanto substituindo x por 0 temos: 

A partir das informações do enunciado acerca das figuras, temos, para a circunferência, cujo perímetro é dado por p = 2.π.r, sendo r o raio da circunferência:

2.π.r = 2.π cm

r = 1 cm

Para o quadrado, cujo perímetro é dado por p = 4.x, sendo x o lado do quadrado:

4.x = 4 cm

x = 1 cm

Sendo assim, temos que o raio da circunferência é igual ao lado do quadrado, portanto, a única figura que representa a dimensão correta das duas figuras é a alternativa D.