Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio
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1) Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação x2 + y2 = 2cx. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então seu raio é igual a
- A)
.
- B)
.
- C) 2.
- D) 3.
A alternativa correta é letra D
1) x2+ y2= 2cx ⇔x2– 2cx + y2= 0
2) O centro C é dado por
; ou seja(c; 0).
3) Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então c + 2 . 0 = 3 ⇔c = 3
4) Assim, x2+ y2= 2cx ⇒x2+ y2= 2 . 3 . x ⇔
⇔x2– 6x + y2= 0 ⇔(x – 3)2+ y2= 32, cujo centro é o ponto (3; 0) e o raio 3.
2) O centro C é dado por
3) Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então c + 2 . 0 = 3 ⇔c = 3
4) Assim, x2+ y2= 2cx ⇒x2+ y2= 2 . 3 . x ⇔
⇔x2– 6x + y2= 0 ⇔(x – 3)2+ y2= 32, cujo centro é o ponto (3; 0) e o raio 3.
Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.
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2) Dado um triângulo de vértices (0, 12), (0, 0) e (5, 0) no plano cartesiano ortogonal, a distância entre os centros das circunferências inscrita e circunscrita a esse triângulo é
- A)
- B)
- C)
- D)
FAZER COMENTÁRIO- E)
A alternativa correta é letra D
Como a circunferência circunscrita em um triângulo retângulo seu diâmetro será a hipotenusa desse triângulo, logo seu centro estará no meio da hipotenusa (Meio entre os pontos (0, 12) e (5, 0) ) com valor (5/2 , 6)).
Desenhando os pontos informados temos:Inserindo o M como ponto central da circunferência circunscrita e M' como inscrita.
Por Pitágoras, determina-se o valor da hipotenusa do triângulo. Trata-se do conhecido triângulo de lados 5, 12 e 13, logo sua hipotenusa mede 13.
Por fim podemos usar uma relação entre as áreas dos triângulos para encontrar o raio.
Podemos escrever as áreas dos 3 triângulos internos ao maior como a metade do produto de seu lado com o raio e a área do triângulo como a metade do produto de seus catetos.
Dessa forma:
Logo a localização de M'= (2 , 2)
Por fim a distancia entre M e M' é dada por:
Resposta correta é a letra D.3) Um ponto (x,y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação x2+ y2– 2x – 6y + 2 = 0. É correto afirmar que F
FAZER COMENTÁRIO- A) é um conjunto vazio.
- B) tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
- C) tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.
- D) tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
- E) tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.
A alternativa correta é letra D
Um ponto equidistante dos eixos OX e OY pertence à reta de equação y = x ou y = – x.
Para pertencer ao conjunto F dos pontos do plano cartesiano equidistantes dos eixos OX e OY e pertencentes a “circunferência” (e não de um círculo),de equação x2+ y2– 2x – 6y + 2 = 0, devemos ter:
Portanto, o conjunto F possui os pontos (2 +; 2 +
), (2 –
; 2 –
), que pertencem ao 1o. quadrante, e o ponto (– 1; 1), que pertence ao 2o. quadrante.
Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.Continua após a publicidade..4) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (–1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (– 1/2, 4), é tangente a C no ponto (0, 3). Então, o raio de C vale
- A)
- B)
- C)
- D)
FAZER COMENTÁRIO- E)
A alternativa correta é letra E
Como os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem a circunferência C, devem satisfazer as equações . Simplificando e fazendo a segunda menos a primeira obtemos Como o ponto (0, 3) é o ponto de tangencia temos que os centro C1 da circunferência C, o centro C2 da segunda circunferência e o ponto (0, 3) são colineares. A equação da reta que passa por (0, 3) e (-1/2, 4) é dada por , simplificando obtemos . Da primeira relação que obtivemos vamos isolar y e substituir na relação acima, obtendo . Simplificando está equação obtemos x=1, e substituindo em uma das equações acima obtemos y=1. Portanto o centro de C tem coordenadas (1, 1). Calculando a distância de (1, 1) a (0, 3) obtemos que é o raio de C.5) Sejam a circunferência λ: x2 + y2 – 2y + k = 0 e a reta r: 3x + 4y – 19 = 0. Para que r seja tangente a λ, k deve valer
- A) –10.
- B) –8.
- C) 0.
- D) 8.
FAZER COMENTÁRIO- E) 10.
A alternativa correta é letra B
Com a circunferência λ, na equação x2
y 2– 2y + k = 0, temos:x2 + (y - 1)2 = 1 - kPortanto, temos o centro (0, 1) e raio , com k < 1.A reta r: 3x + 4y – 19 = 0 será tangente a λ, somente se:| 3 . 0 + 4 . 1 - 19 | 3 2 + 4 2 = 1 - k
Alternativa B.Continua após a publicidade..6) Os pontos M (1, – 2) e N (3, 4) são os extremos do diâmetro de uma circunferência. A equação cartesiana dessa circunferência é:
- A) x2 + y2 – 4x – 2y + 5 = 0.
- B) x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0.
- C) x2 + y2 – 4x + 2y + 5 = 0.
- D) x2 + y2 + 4x + 2y + 5 = 0.
FAZER COMENTÁRIO- E) x2 + y2 – 4x – 2y – 5 = 0.
A alternativa correta é letra E
Perceba que o diâmetro da circunferência d é igual ao comprimento do segmento MN, logo,
Assim temos que o raio . Note agora que o centro da circunferência é o ponto médio do segmento MN, logo,
Agora basta aplicar a definição de circunferência,
Alternativa E.7) A área do anel entre dois círculos concêntricos é 25π cm². O comprimento da corda do círculo maior, que é tangente ao menor, em centímetros, é
A área do anel entre dois círculos concêntricos é 25π cm². O comprimento da corda do círculo maior, que é tangente ao menor, em centímetros, é- A) .
- B) 5.
- C) 5.
- D) 10.
FAZER COMENTÁRIO- E) 10.
A alternativa correta é letra D
Pelo enunciado, tem-se a seguinte figura:Considerando como A a área do anel, R o raio do círculo maior, r o raio do círculo menor e x o comprimento da corda, tem-se que:No triângulo DOF (O é o centro da circunferência) tem-se que:Continua após a publicidade..8) A circunferência (x – 4)2 + (y + 7)2 = 16 tangencia o eixo y no ponto:
- A) (0, 4)
- B) (0, 7)
- C) (0, -7)
- D) (0, - 4)
FAZER COMENTÁRIO- E) (4, 0)
A alternativa correta é letra C
A circunferência irá tangenciar o eixo y, quando x valer 0, portanto substituindo x por 0 temos:16 + (y+7)² = 16portanto y=-7. Desta forma o ponto onde a circunferência tangencia o eixo y é (0,-7).
A alternativa correta é a C.9) A figura exibe cinco configurações que pretendem representar uma circunferência de centro O1 e perímetro 2π cm e um quadrado de centro O2 e perímetro 4 cm. Aponte a alternativa que corresponde à configuração descrita.
FAZER COMENTÁRIO- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
A alternativa correta é letra D
A partir das informações do enunciado acerca das figuras, temos, para a circunferência, cujo perímetro é dado por p = 2.π.r, sendo r o raio da circunferência:2.π.r = 2.π cmr = 1 cmPara o quadrado, cujo perímetro é dado por p = 4.x, sendo x o lado do quadrado:4.x = 4 cmx = 1 cmSendo assim, temos que o raio da circunferência é igual ao lado do quadrado, portanto, a única figura que representa a dimensão correta das duas figuras é a alternativa D.Continua após a publicidade..10) As circunferências x² + y² + 8x + 6y = 0 e x² + y² – 16x – 12y = 0 são:
- A) exteriores
- B) secantes
- C) tangentes internamente
- D) tangentes externamente
FAZER COMENTÁRIO- E) concêntricas
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x² + y² + 8x + 6y = 0
x² + 8x + y²+ 6y = 0
(x + 4)2 + (y + 3)2= 25
Centro1 =(-4;-3)
Raio1=5
x² + y² - 16x - 12y = 0
x² - 16x + y² - 12y = 0
(x - 8)2 + (y - 6)2= 100
Centro2 =( 8; 6)
Raio2=10
Para saber a posição relativa basta calcular a distância entre seus centros, e comparar com a soma dos raios.
D:Distância D2=(-4-8)2 + (-3-6)2
Então D=15.
E como a soma dos raios também é 15 percebemos que as circunferências são Tangentes externamente.
PORTANTO ALTERNATIVA D. - B) secantes
- B) (0, 7)
- B) 5.
- B) x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0.
- B) –8.
- B)
- B)