Considerando que o triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência de equação (x + 3)2 + (y − 2)2 = 27, então a medida do segmento AB é

A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.
E) 15.

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Resposta:

A alternativa correta é letra C

Uma das propriedades do triângulo equilátero é que o baricentro, ortocentro, circuncentro e o incentro coincidem.
A altura do triângulo equilátero é uma mediana e o raio (segmento do centro da circunferência ao vértice do triângulo) da circunferência circunscrita a ele corresponde a

\frac{2}{3}

da altura.

R = \frac{2}{3} H

isolando H, temos:

H = \frac{3}{2} R

R é o raio e H é a altura. Sabendo que a altura do triângulo é mediana, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de lados H, L e

\frac{L}{2}

, onde L é a medida do lado do triângulo.
Como o triângulo é equilátero, AB=BC=CA=L, então basta encontrar a medida de L. A hipotenusa desse triângulo retângulo é L e os catetos H e

\frac{L}{2}

Teorema de Pitágoras:

L^{2} = H^{2} + {(\frac{L}{2})}^{2} L^{2} = H^{2} + \frac{L^{2}}{4}

Isolando L de um lado:

L^{2} - \frac{L^{2}}{4} = H^{2} 3 \frac{L^{2}}{4} = H^{2} 3 L^{2} = 4 H^{2} L^{2} = \frac{4}{3} H^{2}

substituindo o valor de H e função do raio R:

L^{2} = \frac{4}{3} . {(\frac{3}{2} R)}^{2} L^{2} = \frac{4}{3} . \frac{9}{4} R^{2} L^{2} = 3 R^{2}

Resta agora descobrir o raio da circunferência.
Pela equação da circunferência:
(x + 3)² + (y − 2)² = 27
Temos que é uma circunferência de centro C(-3,2) e raio ao quadrado R² = 27.
Substituindo na equação do lado L:

L^{2} = 3.27 L = \sqrt{3.27} L = \sqrt{81} L = 9

Logo, a medida do segmento AB = 9.

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Considerando que o triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência de equação (x + 3)2 + (y − 2)2 = 27, então a medida do segmento AB é

Resposta:

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