No plano cartesiano, o ponto C(2,3) é o centro de uma circunferência que passa pelo ponto médio do segmento CP, em que P é o ponto de coordenadas (5,7). A equação da circunferência é:

Para uma circunferência qualquer, de raio R e centro em (a,b), temos a equação geral da circunferência:

(x - a)²+(y - b)² = R²

Pelo enunciado sabemos que a circunferência tem centro em C(2,3) e passa pelo ponto médio do segmento CP.
Para encontrar o ponto médio do segmento:
Temos as coordenadas do ponto C(2,3) e P(5,7), o ponto médio M é o ponto com coordenadas:
em X: $\left(\frac{2+5}{2}\right)=3,5$
em Y: $\left(\frac{3+7}{2}\right)=5$
logo M(3,5 ; 5)

Para encontrar a equação da circunferência precisamos determinar o raio dela. 
Determinação do raio pela equação da circunferência:
Substituindo os valores de x e y pelo ponto que ela passa, basta determinar o raio:
(3,5 - 2)² + (5 - 7)² = R²
(1,5)² + (2)² = R²
Para trabalhar com números inteiros, posso multiplicar toda expressão por 2²:

Como na expressão da equação da circunferência é utilizado o R² posso deixar em função de R² mesmo.
Substituindo o valor encontrado para o raio ao quadrado e das coordenadas do centro na equação da circunferência, temos:

abrindo a expressão:

e agora multiplicando ambos os lados por 4:

simplificando:

é a equação da circunferência.