O maior valor inteiro de k, para que a equação x²+y²+4x-6y+k=0 represente uma circunferência é:

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Resposta:

A alternativa correta é letra B

A equação de uma circunferência é dada por:

\begin{array}{l} (x - x_{c})^{2} + (y - y_{c})^{2} = r^{2} \\ x^{2} - 2 x x_{c} + {x_{c}}^{2} + y^{2} - 2 y y_{c} + {y_{c}}^{2} = r^{2} \\ x^{2} - 2 x x_{c} + {x_{c}}^{2} + y^{2} - 2 y y_{c} + {y_{c}}^{2} - r^{2} = 0 \end{array}

Comparando a equação geral da circunferência com a equação dada, temos:

\begin{array}{l} - 2 x x_{c} = 4 x \\ x_{c} = - 2 \\ - 2 y y_{c} = 6 y \\ y_{c} = - 3 \end{array}

Assim o centro da circunferência do enunciado é C(-2,-3). Substituindo estes valores na equação geral, temos:

\begin{array}{l} x^{2} - 2 x (- 2) + (- 2)^{2} + y^{2} - 2 y (- 3) + (- 3)^{2} - r^{2} = 0 \\ x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + 6 y + 9 - r^{2} = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y + 13 - r^{2} = 0 \end{array}

O valor de k da equação dada no enunciado é

k = 13 - r^{2}

Para k possuir o maior valor inteiro possível, r deve ser igual a 1 e portanto k=12.

Alternativa B.

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