Início » 3º ano do Ensino Médio » Matemática » Geometria Analítica » Os pontos A, B e C são colineares, AB = 5, BC = 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP + BP vale

Os pontos A, B e C são colineares, AB = 5, BC = 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP + BP vale

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Resposta:

A alternativa correta é letra D

Devemos desenhar o que foi exposto no enunciado para resolver a questão. Iniciaremos desenhando a reta que corresponde aos três pontos colineares A,B e C representados por AB = 5 e BC = 2. Em seguida desenharemo a circunferência de centro A e que passa pelos pontos C e D obtendo a figura abaixo.

Define-se mediatriz como uma reta perpendicular a um seguimento passando pelo seu ponto médio logo, a reta r é uma mediatriz. Desenhando $\overline{\mathrm{BD}}$, r e $\overline{\mathrm{AD}}$ e P conforme indicado no enunciado obteremos a seguinte figura:

Podemos observar que P é um ponto da mediatriz, ou seja, é equidistante das duas extremidades da reta BD. Deste modo podemos dizer que $\overline{\mathrm{PB}}$ e $\overline{\mathrm{PD}}$ são equidistantes.

Deseja-se obter $\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}$, se $\overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{PD}}$ então:
$\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PD}}= \overline{\mathrm{AD}}$
Observe que $\overline{\mathrm{AD}}$ equivale ao raio da circunferência de centro A e que $\overline{\mathrm{AC}}$ também representa o raio da mesma circunferência. Logo:
$\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}= \overline{\mathrm{AC}}=7$

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