Os pontos P e Q dividem o segmento de extremos (5, 8) e (1, 2) em três partes iguais. Se as retas perpendiculares a esse segmento pelos pontos P e Q interceptam o eixo y nos pontos (0, p) e (0, q), com p >q, então 6q – 3p é igual a

Como as distâncias de P e Q obedece relação linear com (1,2) e (5,8) então as distâncias entre os pontos P' e Q', que são, respectivamente, as projeções dos pontos P e Q no eixo y temos também que P' e Q' dividem as projeções de (1,2) e (5,8) em três partes iguais. A equação da reta perpendicular ao segmento que liga (1,2) e (5,8) e passa por (1,2) é dada por $\mathrm{y}-2=\left(-\frac{2}{3}\right)(\mathrm{x}-1)$. Portanto a projeção de (1,2) no eixo y é obtida tomando x=0 na equação da reta acima. Sendo assim, obtemos $\left(0, \frac{8}{3}\right)$. A equação da reta que passa por (5,8) e é perpendicular ao segmento que liga (1,2) e (5,8) é dada por $\mathrm{y}-8=\left(-\frac{2}{3}\right)(\mathrm{x}-5)$. Fazendo x=0 obtemos a projeção de (5,8) no eixo y, portanto obtemos $\left(0, \frac{34}{3}\right)$. Tomando a diferença das coordenadas y das projeções de (1,2) e (5,8) obtemos $\frac{34}{3}-\frac{8}{3}=\frac{26}{3}$. Dividindo por 3 obtemos a separação entre os pontos; obtemos $\mathrm{q}=\frac{8}{3}+\frac{26}{3}=\frac{34}{3}$ e $\mathrm{p}=\frac{8}{3}+2.\frac{26}{3}=\frac{60}{3}$. Portanto obtemos $6\mathrm{q}-3\mathrm{p}=6.\frac{34}{3}-3.\frac{60}{3}$$=\frac{24}{3}=8.$