Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

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91) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

A) 4.
B) 4 $\sqrt{2}$ .
C) 8.
D) 8 $\sqrt{2}$ .
E) 16.

A alternativa correta é letra A

Dado que o ponto A tem coordenadas (-2,3) e C (0,5), sabendo que AC é a diagonal do quadrado, podemos facilmente deduzir que os pontos B e D tem coordenadas (-2,5) e (0,3) respectivamente.
Dessa forma, podemos observar que o lado AB mede 2 e o lado BC mede 2. Dessa forma concluímos que a área do quadrado é dada por:

área = 2.2 = 4 unidades de área.

Alternativa A

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92) Dados A (4, 5), B (1, 1) e C (x, 4), o valor de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:

A) 3.
B) 2.
C) 0.
D) -3.
E) -2.

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A alternativa correta é letra D

Utilizando distância entre pontos, podemos determinar o tamanho dos lados do triângulo retângulo. Sabendo que o ângulo reto ocorre no ponto B, sabemos que a hipotenusa do triângulo será o lado AC.

\begin{array}{l} d (A, B) = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ d (A, C) = \sqrt{(4 - x)^{2} + (5 - 4)^{2}} = \sqrt{(4 - x)^{2} + 1} \\ d (B, C) = \sqrt{(1 - x)^{2} + (1 - 4)^{2}} = \sqrt{(1 - x)^{2} + 9} \end{array}

Aplicando pitágoras no triângulo ABC, temos

\begin{array}{l} d (A, C)^{2} = d (A, B)^{2} + d (B, C)^{2} \\ (4 - x)^{2} + 1 = 25 + (1 - x)^{2} + 9 \\ 16 - 8 x + x^{2} + 1 = 25 + 1 - 2 x + x^{2} + 9 \\ - 6 x = 35 - 17 \\ x = - \frac{18}{6} = - 3 \end{array}

Alternativa D.

93) Considerando o triângulo ABC em que A (-1,1), B (5,0) e C (1,2), o comprimento da mediana relativa ao vértice A é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

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A alternativa correta é letra D

Sabendo que a mediana em relação ao ponto A é o segmento de A até o ponto médio de BC, temos de calcular o ponto médio antes, logo:

M = \overset{—}{B C} = (\frac{5 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = (3, 1)

Já o comprimento da mediana será:

c^{2} = (A_{x} - M_{x})^{2} + (A_{y} - M_{y})^{2} c^{2} = (- 1 - 3)^{2} + (1 - 1)^{2} c^{2} = (- 4)^{2} + (0)^{2} c = 4

Alternativa correta é a Letra D

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94) Os pontos A (k, 0), B (1, -2) e C (3, 2) são vértices de um triângulo. Então, necessariamente:

A) k = -1.
B) k = -2.
C) k = 2.
D) k ≠ -2.
E) k ≠ 2 .

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A alternativa correta é letra E

Para garantir que os três pontos são vértices de um triângulo, eles não podem estar alinhados, assim o determinante da matriz com o três pontos tem que ser diferente de zero.

\det ABC = |\begin{matrix} k & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}| \begin{matrix} k & 0 \\ 1 & - 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \det ABC = 6 - 2 k - 2 k + 2 = - 4 k + 8

Para o det ABC não ser igual a 0, então k ≠ 2. Alternativa E.

95) Seja i a unidade imaginária, isto é, i2 = −1. O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano com coordenadas reais (x, y) tais que (2x + yi)(y + 2xi) = i é uma

A) elipse.
B) hipérbole.
C) parábola.
D) reta.

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A alternativa correta é letra A

(2 x + y i) \cdot (y + 2 x i) = i \Leftrightarrow 2 x y + 4 x^{2} i + y^{2} i - 2 x y = i \Leftrightarrow 4 x^{2} i + y^{2} i = i \Leftrightarrow i \cdot (4 x^{2} + y^{2}) = i \Leftrightarrow 4 x^{2} + y^{2} = 1

Sabendo que a equação reduzida da elipse é

\frac{x ²}{a ²} + \frac{y ²}{b ²} = 1

e supondo

a = \frac{1}{2}

b = 1

temos que o lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano com coordenadas reais (x, y) tais que (2x + yi)(y + 2xi) = i é uma elipse. Alternativa A.

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96) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x – y – 2 = 0 e 12x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0,3), B(2,0) e P é

Se P é o ponto de intersecção das retas de equações

x – y – 2 = 0 e 12x + y = 3, a área do triângulo de

vértices A(0,3), B(2,0) e P é

A) $\frac{1}{3}$
B) $\frac{5}{3}$
C) $\frac{8}{3}$
D) $\frac{10}{3}$
E) $\frac{20}{3}$

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A alternativa correta é letra D

Inicialmente deve-se encontrar o ponto de intersecção das duas retas, para tanto devemos construir um sistema com as duas equações:

\begin{array}{l} \{\begin{matrix} x - y - 2 = 0 \\ \frac{1}{2} x + y = 3 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} x - y = 2 \\ \frac{1}{2} x + y = 3 \end{matrix} \\ S o m a n d o a s e q u a ç õ e s : \\ \frac{1}{2} x + x = 5 \Rightarrow 3 x = 10 \Rightarrow \\ x = \frac{10}{3} \\ S u b s t i t u i n d o x e m u m a d a s e q u a ç õ e s : \\ \frac{10}{3} - y = 2 \Rightarrow y = \frac{4}{3} \\ P o r \tan t o P (\frac{10}{3}, \frac{4}{3}) \end{array}

Para determinarmos a área deste triângulo devemos utilizar a seguinte regra:

\begin{array}{l} \frac{|D|}{2} = A \\ o n d e A = á r e a e D : \\ D = |\begin{matrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{matrix}| \\ D e s t a f o r m a t e r e m o s : \\ D = |\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ \frac{10}{3} & \frac{4}{3} & 1 \end{matrix}| = 6 - 10 - \frac{8}{3} \\ D = \frac{18 - 30 - 8}{3} = \frac{- 20}{3} \\ A = \frac{|D|}{2} = \frac{|\frac{- 20}{3}|}{2} = \frac{20}{3} . \frac{1}{2} \\ A = \frac{10}{3} \end{array}

97) Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir:

I. O triângulo ABC é isósceles.

II. O ponto D = (2, ½) pertence ao segmento AB.

III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é 2x + y = 5

Assinale a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
C) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
D) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

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A alternativa correta é letra A

Vamos analisar as 3 afirmações:

I) Verdadeira. Os lados AC e BC têm os mesmos comprimentos; já o lado AB é maior. Isso caracteriza um triângulo isósceles.

II) Falsa. A equação da reta que contém o segmento AB é:

y = \frac{1}{3} x

Se fizermos x = 2, encontraríamos y = 2/3. Portanto, o ponto D = (2, 1/2) não pertence à reta que passa pelos vértices A e B.

III) Falsa. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é:

y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 3) \Rightarrow 2 y + x = 5

Alternativa A.

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98) A equação da elipse de focos F1 = (–2, 0), F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por

A) $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{20} = 1$
B) $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$
C) $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{15} = 1$
D) $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{15} = 1$
E) $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

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A alternativa correta é letra B

Os focos de uma elipse são dados por F₁ (-c,0) e F₂ (c,0), com isso sabemos que c vale 2. Além disso sabemos que o eixo maior vale 6, contudo o eixo maior é igual ao dobro do valor de a, ou seja, 2a=6, portanto a=3.
Por fim sabemos que a²=b²+c², então 9=b²+4, b²=5.

Portanto como a equação de uma elipse é dada por

\frac{x ²}{a ²} + \frac{y ²}{b ²} = 1

, a equação que corresponde aos dados fornecidos é

\frac{x ²}{9} + \frac{y ²}{5} = 1

. Alternativa B.

99) Em um plano cartesiano, a parábola y = –x2+ 4x + 5 e a reta y = x + 5 se intersectam nos pontos P e Q. A distância entre esses dois pontos é

A) $2 square root of 3$
B) $square root of 2$
C) 3
D) $3 square root of 2$
E) 4

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A alternativa correta é letra D

Se a parábola y = –x² + 4x + 5 e a reta y = x + 5 se intersectam nos pontos P e Q, então igualando-as, vem:

-x² + 4x + 5 = x + 5 → –x² + 4x = x →

–x² + 4x – x = 0 → x² – 3x = 0 →
x_P = 0 e x_Q = 3 → y_P = 5 e y_Q = 8 →

P(0, 5) e Q(3, 8).

Como a distância entre dois pontos se calcula através da expressão

d_PQ = √(x_P- x_Q)² + (y_P- y_Q)² ,

vem d_PQ = √(0 - 3)² + (5 - 8)² = √18 = 3√2

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100) O ponto do eixo das abscissas, equidistante dos pontos P(-2,2) e Q (2, 6), é:

A) A (2,0).
B) B (5,0).
C) C (3,0).
D) D (0,2).
E) E (4,0).

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A alternativa correta é letra E

O problema define que o ponto deve ter a ser encontrado está no eixo x, o que significa dizer que o ponto é do tipo (x,0), assim devemos escrever uma relação de igualdade entre a distância do ponto (x,0) aos pontos P(-2,2) e Q(2,6).

d_{PZ} = \sqrt{(x - (- 2))^{2} + (0 - 2)^{2}} = d_{QZ} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (0 - 6)^{2}} x^{2} + 4 x + 4 + 4 = x^{2} - 4 x + 4 + 36 x = 4

Assim o ponto é (4,0). Alternativa E.

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