Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

Como as distâncias de P e Q obedece relação linear com (1,2) e (5,8) então as distâncias entre os pontos P' e Q', que são, respectivamente, as projeções dos pontos P e Q no eixo y temos também que P' e Q' dividem as projeções de (1,2) e (5,8) em três partes iguais. A equação da reta perpendicular ao segmento que liga (1,2) e (5,8) e passa por (1,2) é dada por $\mathrm{y}-2=\left(-\frac{2}{3}\right)(\mathrm{x}-1)$. Portanto a projeção de (1,2) no eixo y é obtida tomando x=0 na equação da reta acima. Sendo assim, obtemos $\left(0, \frac{8}{3}\right)$. A equação da reta que passa por (5,8) e é perpendicular ao segmento que liga (1,2) e (5,8) é dada por $\mathrm{y}-8=\left(-\frac{2}{3}\right)(\mathrm{x}-5)$. Fazendo x=0 obtemos a projeção de (5,8) no eixo y, portanto obtemos $\left(0, \frac{34}{3}\right)$. Tomando a diferença das coordenadas y das projeções de (1,2) e (5,8) obtemos $\frac{34}{3}-\frac{8}{3}=\frac{26}{3}$. Dividindo por 3 obtemos a separação entre os pontos; obtemos $\mathrm{q}=\frac{8}{3}+\frac{26}{3}=\frac{34}{3}$ e $\mathrm{p}=\frac{8}{3}+2.\frac{26}{3}=\frac{60}{3}$. Portanto obtemos $6\mathrm{q}-3\mathrm{p}=6.\frac{34}{3}-3.\frac{60}{3}$$=\frac{24}{3}=8.$

Devemos desenhar o que foi exposto no enunciado para resolver a questão. Iniciaremos desenhando a reta que corresponde aos três pontos colineares A,B e C representados por AB = 5 e BC = 2. Em seguida desenharemo a circunferência de centro A e que passa pelos pontos C e D obtendo a figura abaixo.

Define-se mediatriz como uma reta perpendicular a um seguimento passando pelo seu ponto médio logo, a reta r é uma mediatriz. Desenhando $\overline{\mathrm{BD}}$, r e $\overline{\mathrm{AD}}$ e P conforme indicado no enunciado obteremos a seguinte figura:

Podemos observar que P é um ponto da mediatriz, ou seja, é equidistante das duas extremidades da reta BD. Deste modo podemos dizer que $\overline{\mathrm{PB}}$ e $\overline{\mathrm{PD}}$ são equidistantes.

Deseja-se obter $\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}$, se $\overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{PD}}$ então:
$\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PD}}= \overline{\mathrm{AD}}$
Observe que $\overline{\mathrm{AD}}$ equivale ao raio da circunferência de centro A e que $\overline{\mathrm{AC}}$ também representa o raio da mesma circunferência. Logo:
$\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}= \overline{\mathrm{AC}}=7$

  Embora haja outras maneiras de resolver o exercício, uma maneira interessante de resolvê-lo é calcular a área desse pelo método do determinante.
  Para o cálculo dessa área, devemos colocar o vértices dos triângulos em um determinante 3x3, seguido do número 1,  em seguida, multiplicamos esse determinante por meio; a área do triângulo é dada pelo módulo da resposta.

Inicialmente devemos definir o ponto de intersecção das retas r e s. Para isso devemos definir em qual ponto as duas equações possuem o mesmo valor, assim tomemos o sistema
 

Portanto o ponto P é dado por P(2,1). Para determinarmos a distância entre o ponto A e o ponto P, basta utilizarmos a fórmula de cálculo de distância entre pontos dada por

$d_{AP}=\sqrt{(x_P-x_A{)}^2+(y_P-y_A{)}^2}$
 

Logo a distância neste caso será

$$\begin{gathered} d_{AP}=\sqrt{(2-3{)}^2+(1-(-1){)}^2} \\ {d}_{AP}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5} \end{gathered}$$

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

 A fórmula da distância entre dois pontos é dada por

Substituindo os valores dos pontos A e B, temos:

Alternativa D.

Podemos calcular a área do triângulo usando o módulo do determinante,da seguinte forma :

Área: 0,5.$\left|\begin{array}{ccc}x1& y1& 1\\ x2& y2& 1\\ x3& y3& 1\end{array}\right|$ 

Em que usamos apenas as coordenadas dos vértices.

Assim :$0,5. \left|\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 2& y& 1\\ -4& 2y& 1\end{array}\right|\right|$=8
Calculando obtemos
|8y| = 16
logo y = 2 ou y = - 2.

Portanto, podemos concluir que alternativa correta é a letra A.

 

Para calcular a área deste triângulo, basta calcular o seguinte determinante:

 $S = \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 7& 1& 1\\ 3& 5& 1\end{array}\right|=\frac{45 - 29}{2}=\frac{16}{2}=8$

 

 

A distância real entre a catedral e a prefeitura é 500 m e cada unidade no mapa corresponde à distância real de 250 m. Ou seja, a distância entre os pontos equivale a 2 unidades no mapa. Considerando x como a distância entre a catedral e a câmara, pelo teorema de Pitágoras, nesse triângulo retângulo, temos:

x² = 1.000² + 500²

x  = 500$\sqrt{5}$ m

Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

A Avenida Avenida Brasil está sobre a reta x = 2, enquanto que a Avenida Juscelino Kubitschek está sobre uma reta que passa pelo ponto (4,2) que está entre a prefeitura e a câmara. Observando que a Avenida Juscelino Kubitschek também passa pelo ponto (3,3) podemos determinar a equação da reta que representa a avenida. Tal equação da reta é dada por:

Simplificando, obtemos:

y = 6 – x

As duas avenidas se cruzam quando x = 2, ou seja, no ponto (2,4). Analisando as alternativas vemos que o ponto (2,4) está na região indicada pela alternativa B. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.