Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

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111) No plano cartesiano, a reta de equação 2x – 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas

A) (3, – 2).
B) (4, 4/3).
C) (3, 2).
D) (4, – 4/3).

A alternativa correta é letra A

Se a reta de equação 2x – 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B e sabendo que no eixo x, y = 0 e no eixo y, x = 0, substituindo x por 0 na equação obtemos y = 4 e chamaremos este ponto de A. Então :
A(0, 4)
Substituindo y por 0 na equação obtemos x = 6 e chamaremos este ponto de B. Então B(6, 0).

Para determinar o ponto médio entre A e B calculamos a média dos valores de x e a média entre os valores de y destes pontos.

Logo x do ponto médio é (0 + 6)/2 = 3
e y do ponto médio é (4 + 0)/2 = 2
Portanto o ponto médio tem coordenadas (3, 2)

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112) A área do triângulo determinado pelas retas y = x, y = – x e y = 3 é:

A) 8.
B) 9.
C) 5.
D) 4.
E) 1.

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A alternativa correta é letra B

Realizando o gráfico podemos perceber que a área do triângulo definido pelas retas é igual à soma das áreas de dois triângulos com base b = 3 e altura h = 3:

A_{T} = 2 \frac{b h}{2} \Rightarrow A_{T} = b h = (3) (3) = 9

Alternativa B.

113) Admitindo um retângulo cujos lados medem a e b, sendo a < b, é possível formar uma sequência ilimitada de retângulos da seguinte forma: a partir do primeiro, cada novo retângulo é construído acrescentando-se um quadrado cujo lado é igual ao maior lado do retângulo anterior, conforme ilustrado a seguir.

A figura IV destaca a linha poligonal P₁P₂P₃P₄P₅P₆, formada pelos lados dos retângulos, que são os elementos da sequência (a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b). Mantendo o mesmo padrão de construção, o comprimento da linha poligonal P1P2P3P4P5P6P7, de P₁até o vértice P₇, é igual a:

A) 5a + 7b
B) 8a + 12b
C) 13a + 20b
D) 21a + 33b

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A alternativa correta é letra B

Desde que P6P7 = a + 2b + 2a + 3b = 3a + 5b, temos P1P2P3P4P5P6P7 =

a + b + a + b + a + 2b + 2a + 3b + 3a + 5b = 8a + 12b

Resposta: B

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114) A distância entre os pontos M(4,5) e N(-1,-7) do plano x0y vale:

A) 14.
B) 12.
C) 8.
D) 13.
E) 9.

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A alternativa correta é letra D

A distância entre dois pontos no plano cartesiano pode ser calculada utilizando pitágoras. Basta encontrar a distância no eixo y e no eixo x para encontrar a distância entre os pontos.

\begin{array}{l} d^{2} = (4 - (- 1))^{2} + (5 - (- 7))^{2} \\ d^{2} = 25 + 144 = 169 \\ d = 13 \end{array}

Alternativa D

115) Os pontos (1,3), (2,7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se:

A) k=11.
B) k=12.
C) k=14.
D) k=15.
E) k=13.

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A alternativa correta é letra D

Para que três pontos estejam alinhados, o determinante da matriz formada por eles deve ser igual a zero. Assim:

\begin{array}{l} d e t = [\begin{matrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & k & 1 \end{matrix}] \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ 4 & k \end{matrix} \\ d e t = - 28 - k - 6 + 7 + 12 + 2 k \\ d e t = k - 15 = 0 \\ k = 15 \end{array}

Alternativa D.

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116) Qual é a área do quadrilátero ABCD de vértices A(1, 1), B(4, 4), C(4, 0) e D(3, 2)?

A) 4,0
B) 3,5
C) 3,0
D) 5,0
E) 4,5

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A alternativa correta é letra E

Embora haja outras maneiras de efetuar o exercício, uma maneira interessante de resolve-lo, é separar o quadrilátero em dois triângulos, e posteriormente, calcular as áreas desses separadamente pelo método do determinante.
Sendo assim, considere o quadrilátero ACBD, separemos em dois triângulos, no caso, ADC e BCD, basta agora calcularmos suas respectivas áreas.
Para o cálculo dessa, devemos colocar o vértices dos triângulos em um determinante 3x3, seguido do número 1, em seguida, multiplicamos esse determinante por meio; a área do triângulo é dada pelo módulo da resposta.

1º)

0, 5 . |\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end{matrix}| = 2, 5

2º)

0, 5 . |\begin{matrix} 4 & 4 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}| = 2

E finalmente para obtermos a área do quadrilátero, devemos apenas somar as áreas parciais dos triângulos:

S= 2,5 + 2 = 4,5

PORTANTO ALTERNATIVA E.

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