Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

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11) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência l e a reta r, de equações x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y – 21 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de l, tem equação

A) 3x + 7y – 2 = 0
B) 3x – 7y – 2 = 0
C) 3x – 7y + 5 = 0
D) 7x + 3y – 2 = 0
E) 3x + 7y – 16 = 0

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A alternativa correta é letra A

Podemos escrever a equação da circunferência como:

(x-3)²+(y+1)²=4, e disto obtemos o centro C de coordenadas C(3, -1) e raio R=2.

A reta paralela a r tem equação da forma 3x+7y+k=0, como a reta deve passar por C obtemos 3.3-7.1+k=0, ou seja, k=-2.

Portanto a equação é dada por 3x+7y-2=0.

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12) No plano cartesiano, sejam C a circunferência de centro na origem e raio r > 0 e s a reta de equação x + 3y = 10. A reta s intercepta a circunferência C em dois pontos distintos se e somente se

A) r > 2
B) r > $square root of 5$
C) r > 3
D) r > $square root of 10$

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A alternativa correta é letra D

A reta de equação x + 3y – 10 = 0 intercepta a circunferência x2+ y2= r2, com r > 0 se, e somente se,

r greater than fraction numerator open vertical bar 0 plus 3. negative 10 close vertical bar over denominator square root of 1 squared space plus 3 squared end root end fraction space equals fraction numerator open vertical bar 10 close vertical bar over denominator square root of 10 end fraction left right double arrow r greater than square root of 10

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

13) Considere a circunferência de equação cartesiana x2+ y2 = x − y. Qual das equações a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais?

A) x + y = – 1.
B) x – y = – 1.
C) x – y = 1.
D) x + y = 1.

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A alternativa correta é letra C

A partir da equação normal dada no enunciado, podemos obter as coordenadas do centro e a medida do raio, da seguinte forma:

x squared plus y squared equals x minus y x squared minus x plus y squared plus y equals 0 x squared minus 1 half x plus 1 fourth plus y squared plus 1 half y plus 1 fourth equals space 1 fourth plus 1 fourth open parentheses x minus 1 half close parentheses squared plus open parentheses y plus 1 half close parentheses squared equals 2 over 4 equals 1 halfP o r tan t o comma space C open parentheses 1 half comma 1 half close parentheses space space e space r a i o space i g u a l space a space R equals square root of 1 half end root

Para que a reta divida a circunferência em duas partes iguais, a reta deve passar pelo centro e, neste caso, basta verificar qual equação o ponto C

open parentheses 1 half comma negative 1 half close parentheses

satisfaz que nesse caso, é x – y = 1.

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14) A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue.

Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, o seu raio, em centímetros, deve ser:

A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4

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A alternativa correta é letra A

Sendo o comprimento (perímetro, p) de uma circunferência dado por:

p = 2 ×

π

× r

temos que, para um ponto sobre uma circunferência, a distância (s) percorrida por ele será:

s = f × p = f × 2 ×

π

× r

sendo f a frequência de rotações da circunferência. A roldana faz com que qualquer ponto na circunferência maior tenha a mesma distância percorrida que um ponto na circunferência menor, portanto,

s₁ = s₂

A distância percorrida por um ponto na circunferência maior é dada por:

s₁ = 100 × 2 ×

π

× 12 = 2.400

π

Logo, a distância percorrida por um ponto na circunferência menor deve ser tal que:

s₂ = s₁

Então,

s₂ = 150 × 2 ×

π

× r = 2.400

π

r = 8 cm

Assim, o raio da circunferência menor deve ser igual a 8 cm. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

15) Considerando que o triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência de equação (x + 3)2 + (y − 2)2 = 27, então a medida do segmento AB é

A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.
E) 15.

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A alternativa correta é letra C

Uma das propriedades do triângulo equilátero é que o baricentro, ortocentro, circuncentro e o incentro coincidem.
A altura do triângulo equilátero é uma mediana e o raio (segmento do centro da circunferência ao vértice do triângulo) da circunferência circunscrita a ele corresponde a

\frac{2}{3}

da altura.

R = \frac{2}{3} H

isolando H, temos:

H = \frac{3}{2} R

R é o raio e H é a altura. Sabendo que a altura do triângulo é mediana, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de lados H, L e

\frac{L}{2}

, onde L é a medida do lado do triângulo.
Como o triângulo é equilátero, AB=BC=CA=L, então basta encontrar a medida de L. A hipotenusa desse triângulo retângulo é L e os catetos H e

\frac{L}{2}

Teorema de Pitágoras:

L^{2} = H^{2} + {(\frac{L}{2})}^{2} L^{2} = H^{2} + \frac{L^{2}}{4}

Isolando L de um lado:

L^{2} - \frac{L^{2}}{4} = H^{2} 3 \frac{L^{2}}{4} = H^{2} 3 L^{2} = 4 H^{2} L^{2} = \frac{4}{3} H^{2}

substituindo o valor de H e função do raio R:

L^{2} = \frac{4}{3} . {(\frac{3}{2} R)}^{2} L^{2} = \frac{4}{3} . \frac{9}{4} R^{2} L^{2} = 3 R^{2}

Resta agora descobrir o raio da circunferência.
Pela equação da circunferência:
(x + 3)² + (y − 2)² = 27
Temos que é uma circunferência de centro C(-3,2) e raio ao quadrado R² = 27.
Substituindo na equação do lado L:

L^{2} = 3.27 L = \sqrt{3.27} L = \sqrt{81} L = 9

Logo, a medida do segmento AB = 9.

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16) Os pontos A(–1, 4), B(2, 3) e C não são colineares. O ponto C é tal que a área do triângulo ABC é 5. Nas condições dadas, o lugar geométrico das possibilidades de C é representado no plano cartesiano por um(

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A alternativa correta é letra E

Sendo C (x; y) o ponto tal que a área do triângulo de vértices A(– 1; 4), B(2; 3) e C é

square root of 5

, temos:

fraction numerator open vertical bar table row x y 1 row cell negative 1 end cell 4 1 row 2 3 1 end table close vertical bar over denominator 2 end fraction equals square root of 5 left right arrow

⇔x + 3y – 11 –

2 square root of 5

= 0 ou x + 3y – 11 +

2 square root of 5

= 0
são as equações de duas retas paralelas. Sendo d a distância entre as duas retas, temos:

d equals fraction numerator open vertical bar negative 11 space minus 2 square root of 5 space plus 11 minus 2 square root of 5 close vertical bar over denominator square root of 1 squared space plus 3 squared end root end fraction equals fraction numerator 4 square root of 5 over denominator square root of 10 end fraction equals 2 square root of 2

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

17) A distância entre o centro da circunferência de equação (x – 2)² + (y + 5)² = 9 e a reta de equação 2y + 5x = 0 é:

A) -5.
B) 0.
C) 2.
D) 5.
E) 9.

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A alternativa correta é letra B

Note primeiramente que da equação da circunferência temos o centro C=(2, -5).

Observe que a equação da reta dada pode ser expressa por:

y = - \frac{5}{2} x

Note agora que para x = 2, y = -5, ou seja, o ponto C pertence a reta acima. Portanto a distância entre a reta e o centro da circunferência é nula.

Alternativa B.

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18) As intersecções das curvas de equações x2 + y2 – 7x – 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela intersecção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação 2x – y + 3 = 0, é

A) x + 2y – 2 = 0
B) x + 2y + 2 = 0
C) 2x – y + 4 = 0
D) 2x – y – 2 = 0
E) 2x – y + 2 = 0

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A alternativa correta é letra D

As intersecções das curvas de equações x² + y² – 7x – 9 = 0 e y² = x + 2 são dadas pelo sistema de ambas,assim temos:

x² + y² – 7x – 9 = 0

y² = x + 2

Substituindo, por exemplo, a segunda equação na primeira,temos:

x=7 ou x=-1

Para x=7 temos: y=3 ou y=-3
Para x=-1 temos: y=1 ou y=-1

Logo achamos os seguintes pontos:
A=(7; 3) B=(7; – 3) C=(– 1; – 1) D=(– 1;1)

A equação da reta da diagonal AC é dada

pelo seguinte determinante,igualando-o a zero:

= 0

-x + 2y +1 = 0

A equação da reta da diagonal BD é dada

pelo seguinte determinante,igualando-o a zero:

= 0

-x - 2y +1 = 0

Fazemos agora outro sistema pra adquirir o ponto E de intersecção das diagonais do polígono :

-x + 2y +1 = 0

-x - 2y +1 = 0

Encontramos E=(1;0).

E finalmente, a reta que passa por E e é paralela à reta 2x – y + 3 = 0 , posssui coeficiente angular igual a 2,pois já que são paralelas, possuem o mesmo coeficiente , é dada pela seguinte equação:

2x – y – 2 = 0

Alternativa D.

19) O ponto da reta x – 3y = 5 que é mais próximo ao ponto (1, 3) tem coordenadas cuja soma é:

A) 1,6.
B) 1,2.
C) 1,0.
D) 1,4.
E) 0,8.

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A alternativa correta é letra D

Precisamos saber o ponto de uma reta que é mais próximo ao um ponto que não pertence a ela.
Sabemos que o ponto da reta mais próximo a esse ponto, deve pertencer a uma reta perpendicular à reta dada!
Logo, isolando y na equação: x – 3y = 5, temos:
x - 3y = 5
-3y = 5 - x
3y = -5 + x
y = (x - 5)/3
Sabemos que o coeficiente angular dessa reta é 1/3 pois é o coeficiente que está multiplicando x.
Então, a reta perpendicular a essa deverá ter o oposto inverso, desse coeficiente, assim:
m1 * m2 = -1
1/3*m2 = -1
m2 = -3
Agora, temos o coeficiente angular da nova reta, e um ponto, (1,3). Podemos descobrir sua função:
y-yo = m*(x-xo)
y-3 = -3*(x-1)
y-3 = -3x + 3
y = -3x + 6
Como temos duas funções de retas, e queremos saber onde elas se interceptam, igualaremos as duas!
(x-5)/3 = -3x + 6
x-5 = -9x + 18
10x = 23
x = 2,3
Substituindo x em qualquer uma das equações de retas:
y = -3x + 6
y = -3*2,3 + 6
y = -0,9
Agora só precisamos somar as coordenadas:
2,3 + (-0,9) = 1,4

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20) No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

A) 2 + $2 \sqrt{2}$ .
B) 3 + $2 \sqrt{2}$ .
C) 4 + $2 \sqrt{2}$ .
D) 5 + $2 \sqrt{2}$ .
E) 6 + $2 \sqrt{2}$ .

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A alternativa correta é letra B

Utilizando-se do fato de que a distancia do Ponto P(a,b) as retas y=x e x=0 é a mesma podemos escrever para as equações:

y = x \Rightarrow y - x = 0 \frac{| - a + b |}{\sqrt{1 + 1}} = R x = 0 \frac{| a |}{\sqrt{1}} = R \frac{| b - a |}{\sqrt{2}} = | a | \Rightarrow | b - a | = | a | . \sqrt{2}

Como o ponto P faz parte da equação, y=x², temos

| a^{2} - a | = | a | . \sqrt{2} | a - 1 | = \sqrt{2} C o m o a > 0 a - 1 = \sqrt{2} a = 1 + \sqrt{2}

Sendo assim o valor de b é:

b = a^{2} b = (1 + \sqrt{2})^{2} b = 1 + 2 \sqrt{2} + 2 b = 3 + 2 \sqrt{2}

Alternativa correta é a letra B

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