Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

Continua após a publicidade..

21) Considere as retas r: 4x-3y+17=0 e s: 4x-3y-8=0. A distância entre r e s:

A) $\frac{17}{9}$ .
B) 25.
C) 50.
D) 35.
E) 5.

A alternativa correta é letra E

Para que exista uma distância entre as retas s e r elas têm que ser paralelas. Quando duas retas têm o mesmo coeficiente angular, elas são paralelas:

ax + by + c = 0 ⇒ m=-a/b m é o coeficiente angular

r: 4x-3y+17=0 ⇒ m_r=(-4)/(-3)=4/3
s: 4x-3y-8=0 ⇒ m_s=(-4)/(-3)=4/3

r e s são paralelas.

Para calcular a distância entre as retas, precisamos de um ponto em uma das retas e depois calculamos a distância entre este ponto e a outra reta. Para achar um ponto, podemos escolher y = 0 e descobrir quanto vale x na reta s.

s: 4x - 3(0) - 8 = 0 ∴ x = 2 assim o ponto (2,0) está na reta s.

A distância entre o ponto (2,0) e a reta é:

d_{r \to (2, 0)} = \frac{|4 x - 3 y + 17|}{\sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}}} = = \frac{|4 (2) - 3 (0) + 17|}{\sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}}} = \frac{25}{5} = 5

Alternativa E.

Continua após a publicidade..

22) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y – 10 = 0?

A) $\sqrt{2}$ .
B) $\sqrt{3}$ /2.
C) $\sqrt{10}$ .
D) 1.
E) 2.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E

A fórmula para cálculo da distância de um ponto P(x₀,y₀) a uma reta r: ax+by+c=0 é dada por

d = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Logo como temos P(0,0) e r: 3x – 4y – 10 = 0 a distância será

d = \frac{|3 . (0) - 4 . (0) - 10|}{\sqrt{3^{2} + (- 4)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2

Portanto a alternativa correta é a letra E.

23) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era:

A) 45
B) 48
C) 50
D) 55
E) 58

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A

Podemos representar por meio de desenhos o que o enunciado nos propõe. A situação inicial em que a distância entre x e y é de 72 milhas e a partir de então eles caminham para sul e leste respectivamente é dada pela seguinte figura.

Passadas as 2,25 horas, x terá percorrido 16*2,25=36 milhas no sentido sul e y terá percorrido 12*2,25=27 milhas no sentido leste. A figura que representa a situação às 17h15min é a seguinte

Portanto a distância entre X e Y às 17h15min pode ser encontrada através do teorema de pitágoras.

(XY)²=36²+27²

XY=45 milhas.

Continua após a publicidade..

24) Considere os pontos A(1,2), B(-7,4) e C(-4,-2). A altura baixada do vértice A sobre o lado BC é (em unidades de comprimento):

A) $\frac{21}{\sqrt{17}}$
B) $2 \sqrt{17}$
C) $42 \sqrt{41}$
D) $\frac{41}{\sqrt{41}}$
E) $\frac{14 \sqrt{5}}{5}$

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E

Sabemos que a altura do ponto A até o segmento BC é a distancia do ponto A a reta definida por BC, logo vamos calcular a equação da reta BC

y = a x + b a = \frac{△ Y}{△ x} = \frac{4 + 2}{- 7 + 4} = \frac{- 6}{3} = - 2 - 2 = - 2 (- 4) + b b = - 10 y = - 2 x - 10 \Rightarrow y + 2 x + 10 = 0

Já a distancia do ponto a reta é dada por:

d = \frac{| a_{x} . x_{0} + b_{y} . y_{0} + c |}{\sqrt{(a)^{2} + (b)^{2}}} d = \frac{| 2.1 + 1.2 + 10 |}{\sqrt{(1)^{2} + (2)^{2}}} = \frac{14}{\sqrt{5}} = \frac{14 \sqrt{5}}{5}

Resposta correta é a Letra E

25) A distância entre P(2,1) e a reta 3x + 4y + 7 = 0 é:

A) 3,4.
B) 4,3.
C) 5.
D) 9.
E) 26.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A

A distância entre um ponto e uma reta é dada pela seguinte expressão:

d (P, r) = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Dada a equação: 3x + 4y + 7 = 0 e o ponto P(2,1), temos que:

x: 2
y: 1
a: 3
b: 4
c: 7

Substituindo na expressão acima:

d = \frac{|3 * 2 + 4 * 1 * + 7|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} d = \frac{|6 + 4 + 7|}{\sqrt{9 + 16}} d = \frac{|17|}{\sqrt{25}} d = \frac{17}{5} d = 3, 4

Portanto, a distância entre o ponto P(2,1) e a reta 3x + 4y + 7 = 0 é de 3,4.
Ou seja, alternativa correta é a letra A.

Continua após a publicidade..

26) Qual é a distância da reta y = 1 – x à origem?

Qual é a distância da reta y = 1 – x à origem?

A) 2/√2.
B) √2/2.
C) √2.
D) 1.
E) 2.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B

A distância entre um ponto P(x₀,y₀) e uma reta r genérica ax + by + c é dada por:

d = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Assim como P(0,0) e r: x + y - 1, teremos

d = \frac{|1.0 + 1.0 - 1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Alternativa B.

27) Seja C a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0. Um quadrado, cujos lados são paralelos aos eixos cartesianos, está inscrito em C. O perímetro desse quadrado é

A) 2 $\sqrt{2}$ .
B) 4.
C) 4 $\sqrt{2}$ .
D) 8.
E) 8 $\sqrt{2}$ .

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E

Calculando o raio da circunferência, temos que:

r ² = \frac{(- 6) ² + (- 4) ² - 4 \cdot 1 \cdot 9}{4 \cdot 1 ²} = 4

r = 2

. A diagonal d do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência, então,

d = 4

. Assim, podemos obter a medida do lado do quadrado com a seguinte relação:

d = l \sqrt{2} \Rightarrow \frac{d}{\sqrt{2}} = l \Rightarrow \frac{4}{\sqrt{2}} = l \Rightarrow 2 \sqrt{2}

. Logo, o perímetro do quadrado é

4 \cdot 2 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

Continua após a publicidade..

28) Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x² + y² – 8x – 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata de tinta para pintar 3m² de placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha?

A) 12.
B) 24.
C) 26.
D) 32.
E) 48.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C

Para sabermos o numero de latas vermelhas necessárias, devemos sabem a área de cada placa que deverá ser pintada de vermelho. Sabemos que a equação da figura a ser pintada é x² + y² - 8x - 8y + 28 = 0, logo

podemos reescreve-la da seguinte maneira:

\begin{array}{l} (x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} - 4 = 0 \\ (x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 4 \end{array}

Portando o centro da circunferencia é (4,4) e o seu raio igual a 2. Com isso podemos calcular a área de toda a circunferencia:

\begin{array}{l} S = π r ² \\ S = 4 π = 4.3, 14 = 12, 56 m ² \end{array}

Essa é a área de toda a circunferência, no entanto será pintada de vermelho, apenas metade da circunferência, desta forma a área pintada de vermelho em cada placa será 6,28m².

Ao todo temos 12 placas, totalizando 12*6,28=75,36m².

Sabemos que cada lata de tinta consegue pintar 3m², logo precisaremos de

\frac{75, 36}{3} = 25, 12

latas.

Alternativa C.

29) No plano cartesiano, qual dos pontos abaixo é exterior à circunferência de equação x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0?

A) (0, 0)
B) (– 1, –1)
C) (2, 2)
D) (2, 1)
E) (1, 2)

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E

Pelo método de completar quadrados descobrimos qual o centro e o raio da circunferência:

x^{2} - 4 x + + y^{2} + 6 y + = 12 x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9 (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 C (2, - 3) r = 5 E n t ã o p a r a o p o n t o s e r e x t e r n o a c i r c u n f e r ê n c i a a d i s t â n c i a d e l e a t é o c e n t r o d e v e s e r m a i o r q u e o r a i o : a) \sqrt{(0 - 2)^{2} + (0 + 3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} < 5 b) \sqrt{(2 + 1)^{2} + (- 3 - 1)^{1}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{255} = 5 c) \sqrt{(2 - 2)^{2} + (2 + 3)^{2}} = \sqrt{0 + 25} = 5 d) \sqrt{(2 - 2)^{2} + (1 + 3)^{2}} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4 < 5 e) \sqrt{(1 - 2)^{2} + (2 + 3)^{2}} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} > 5

Continua após a publicidade..

30) Considere o círculo de equação cartesiana x2+y2=ax+by, onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C

Primeiro vamos desenvolver um pouco a equação mudando os termos de lado na igualdade:

x^{2} + y^{2} - ax - by = 0

Para que saber em quais pontos a circunferência toca no eixo das abscissas devemos igualar o y a zero:

y = 0 x^{2} - ax = 0 x (x - a) = 0 x' = 0 x'' = a

As raízes encontradas representam os pontos (0,0) e (a,0). Reciprocamente para encontrarmos os pontos que tocam as ordenadas devemos igualar x a zero:

x = 0 x^{2} - by = 0 y (x - b) = 0 y' = 0 y'' = b

Teremos os pontos (0,0) e (0,b). Deste modo, encontramos que a circunferência encontra o eixo das coordenadas nos pontos (0,0), (0,b) e (a,0). Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

« Anterior 1 2 3 4 5 … 12 Próximo »