Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

Para uma circunferência qualquer, de raio R e centro em (a,b), temos a equação geral da circunferência:

(x - a)²+(y - b)² = R²

Pelo enunciado sabemos que a circunferência tem centro em C(2,3) e passa pelo ponto médio do segmento CP.
Para encontrar o ponto médio do segmento:
Temos as coordenadas do ponto C(2,3) e P(5,7), o ponto médio M é o ponto com coordenadas:
em X: $\left(\frac{2+5}{2}\right)=3,5$
em Y: $\left(\frac{3+7}{2}\right)=5$
logo M(3,5 ; 5)

Para encontrar a equação da circunferência precisamos determinar o raio dela. 
Determinação do raio pela equação da circunferência:
Substituindo os valores de x e y pelo ponto que ela passa, basta determinar o raio:
(3,5 - 2)² + (5 - 7)² = R²
(1,5)² + (2)² = R²
Para trabalhar com números inteiros, posso multiplicar toda expressão por 2²:

Como na expressão da equação da circunferência é utilizado o R² posso deixar em função de R² mesmo.
Substituindo o valor encontrado para o raio ao quadrado e das coordenadas do centro na equação da circunferência, temos:

abrindo a expressão:

e agora multiplicando ambos os lados por 4:

simplificando:

é a equação da circunferência.

A região representa o círculo de centro na origem
O e raio 1. Assim x²+ y²≤ 1.

 

A reta representada tem equação x – y + 1 = 0 e,como para a origem 0 – 0 + 1 = 1 > 0, o semiplano acima da reta é o semiplano x – y + 1 ≤ 0

A região hachurada é a intersecção do círculo x²+ y² ≤ 1 com o semiplano y – x ≥ 1.

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

1) Os pontos de intersecção da circunferência e da parábola, se existirem, são as soluções do sistema
 

2) Da equação (II) tem-se x²= .

Substituindo em (I) resulta.
 

+ y²– 4y + 3 = 0 ⇔
⇔y – 1 + 3y²– 12y + 9 = 0 ⇔
⇔3y²– 11y + 8 = 0 ⇔y = 1 ou y =

3) Para y = 1 tem-se x²=  ⇔x = 0
 

Para y = tem-se x²= ⇔
 

 

⇔x²=  ⇔ x = ±

Os pontos de intersecção da circunferência com a parábola são (0; 1),
 

 

Assim, as curvas se interceptam em três pontos.
 

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

Se a circunferência tangencia a reta quer dizer que a distância do centro C a reta é o raio. Para calcula lo utilizamos a fórmula$$\begin{gathered} \mathrm{d} = \frac{\left|{\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0+\mathrm{c}\right|}{\sqrt{\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}} \\ \mathrm{r} = \frac{\left|3.5+4.3+(-12)\right|}{\sqrt{3^2+4^2}} \\ \mathrm{r}=\frac{\left|15+12-12\right|}{\sqrt{25}} \\ \mathrm{r} = \frac{15}{5} \\ \mathrm{r}=3 \end{gathered}$$
Substituindo na fórmula da circunferência

$$\begin{gathered} (\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{c}}{)}^2+(\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{c}}{)}^2={\mathrm{r}}^2 \\ (\mathrm{x}-5{)}^2+(\mathrm{y}-3{)}^2=3^2 \\ {\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+25+ {\mathrm{y}}^2-6\mathrm{y}+9=9 \\ {\mathrm{x}}^2+ {\mathrm{y}}^2-10\mathrm{x} - 6\mathrm{y} + 25 = 0 \end{gathered}$$

A reta y = 2x + 1 passa pelo ponto (-1; -1) e (0; 1) portanto y ≥ 2x + 1 corresponde a região acima da reta. Mas esta região acima da reta está limitada por uma circunferência de raio 2, o que corresponde a alternativa A.

Inicialmente devemos encontrar os centros das circunferências dadas, passando a formula geral dada para a forma reduzida. Assim temos
 

Portanto podemos concluir que o centro da primeira circunferência é (3,2) e da segunda (5,-3).
Com isso temos dois pontos por onde a reta passa e lembrando que a equação geral de uma reta é y=ax+b, podemos substituir x,y pelos pontos dados e resolver o sistema linear 2x2 formado, da seguinte maneira

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2=3a+b \left(1\right)\\ -3=5a+b \left(2\right)\end{array}\right. \\ De \left(2\right) - \left(1\right) \\ -5=2a \\ a=-\frac{5}{2} \\ 2=3(-\frac{5}{2})+b \\ b=2+\frac{15}{2}=\frac{19}{2} \\ y=-\frac{5}{2}x+\frac{19}{2} \\ 2y=-5x+19 \end{gathered}$$
 

Que pode ser reescrita como 2y+5x-19=0.
Logo, alternativa A.

A equação de uma circunferência é dada por:

  A equação de uma circunferência possui a seguinte forma geral

Sendo r o raio da circunferência e o centro dado pelo ponto C(x₀ , y₀).

Rearranjando a equação da circunferência dada no exercício, temos:

Portanto o centro da circunferência é o ponto (-8,2), alternativa A.

A equação reduzida de uma circunferência é do tipo $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, e tendo ela, sabemos que o centro da circunferência é o ponto $(a,b)$ e o seu raio mede $r$. 
No enunciado não foi nos dada uma equação reduzida da circunferência, por isso faremos algumas modificações algébricas na equação que nos foi dada para chegarmos em uma reduzida, e assim poderemos obter algumas informações. 
Essas modificações são chamadas de "completar quadrados", o objetivo e formarmos um produto do tipo $(c\pm d{)}^2$ com as incógnitas que já temos, e para não modificar a equação, acrescentamos os termos que faltam do outro lado da igualdade.
No caso, temos $x^2+2x$, então usaremos $(x+1{)}^2$, mas para balancear a equação é necessário acrescentar $1$ do outro lado da igualdade, uma vez que esse produto resulta em $x^2+2x+1$. 
De modo semelhante, temos $y^2+my$ e por isso usaremos ${\left(y+\frac{m}{2}\right)}^2$, como nesse produto obtemos $y^2+my+\frac{m^2}{4}$, é necessário acrescentar o temos $\frac{m^2}{4}$ do outro lado da igualdade para que a equação não  se altere.
O que fizemos portanto foi:
$$\begin{gathered} x^2+2x+y^2+my=n \\ {x}^2+2x+1+y^2+my+\frac{m^2}{4}=n+1+\frac{m^2}{4} \\ (x+1{)}^2+\left(y+{\frac{m}{2}}^2\right)=n+1+\frac{m^2}{4} \end{gathered}$$
Nossa última equação é uma equação reduzida da circunferência, e dela podemos obter que o centro da circunferência está no ponto $\left(-1,\frac{-m}{2}\right)$. 
O enunciado diz que a reta $y=-x+1$ contém o centro da circunferência, sendo assim, podemos substituir o ponto $\left(-1,\frac{-m}{2}\right)$ na equação da reta. Fazendo isso, obtemos:
$$\begin{gathered} \frac{-m}{2}=-(-1)+1 \\ \frac{-m}{2}=2 \\ m=-4 \end{gathered}$$

Outra informação dada no enunciado é que a reta intersecta a circunferência no ponto $(-3,4)$, isso significa que este ponto pertence à circunferência, e portanto, podemos substituí-lo na equação reduzida da mesma. Fazendo isso, e substituindo m pelo valor que encontramos anteriormente, temos que:
$$\begin{gathered} (x+1{)}^{2 }+ {\left(y+\frac{m}{2}\right)}^{2 }= n+ 1 + \frac{m^2}{4} \\ (x+1{)}^{2 }+ {\left(y+\frac{-4}{2}\right)}^2 = n +1 + \frac{(-4{)}^2}{4} \\ (-3+1{)}^2+(4-2{)}^2 = n +1 + \frac{16}{4} \\ 4+4=n+1+4 \\ n=3 \end{gathered}$$

E assim, obtemos que $m=-4$ e $n=3$.

Inicialmente devemos determinar o centro da circunferência. Sabemos que o centro C está no eixo das abscissas, logo C(x,0). Como os pontos (3,3) e (-1,3) pertencem a circunferência, sabemos que a distância entre esses pontos e o centro é igual, assim:
 

$$\begin{gathered} \sqrt{(\mathrm{x}-3{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{(\mathrm{x}+1{)}^2+(0-3{)}^2} \\ \sqrt{(\mathrm{x}-3{)}^2+9}=\sqrt{(\mathrm{x}+1{)}^2+9} \\ {\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9+9={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1+9 \\ 18-10=8\mathrm{x} \\ 8\mathrm{x}=8 \\ \mathrm{x}=1 \end{gathered}$$
 

Logo C(1,0). Sabendo o ponto que representa o centro da circunferência, podemos definir o tamanho do raio, substituindo o valor de x em qualquer um dos lados da equação determinada acima.
 

$$\begin{gathered} \mathrm{d}=\mathrm{r}=\sqrt{(1-3{)}^2+(0-3{)}^2} \\ \mathrm{r}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \end{gathered}$$
 

Já que a equação da circunferência é dada por
 

 

Alternativa A.