Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

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41) A distância do centro da circunferência x2 + 2x + y2 – 4y + 2 = 0 à origem é

A) 3.
B) $\sqrt{5}$ .
C) $\sqrt{3}$ .
D) $\sqrt{2}$ .
E) 1.

A alternativa correta é letra B

O primeiro passo é encontrar as coordenadas do centro da circunferência (x_c,y_c). Para isso, podemos utilizar o modelo da equação reduzida da circunferência

(x - x^c)² + (y - y^c)² = r²

Desenvolvendo esta equação temos

x² - 2.x.x_c + x_c² + y² - 2.y.y_c + y_c² - r² = 0

Organizando temos

x² - 2.x.x_c + y² - 2.y.y_c+ x_c² + y_c² - r² = 0

Comparando com a equação geral do exercício temos

x² + 2x + y²– 4y + 2 = 0

- 2.x.x_c= 2x ⇔ x_c = -1

- 2.y.y_c= -4y ⇔ y_c = 2

Sendo o centro da circunferência C(-1,2) sua distância até a origem O(0,0) pode ser calculada

d = \sqrt{{(- 1 - 0)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = \sqrt{5}

Alternativa B

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42) Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto de intersecção da circunferência com o eixo y.

Considere o ponto R, do gráfico de y=

square root of straight x

que possui ordenada y igual à do ponto P. A abscissa x de R é igual a

A) 9.
B) 16.
C) 15.
D) 12.
E) 18.

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A alternativa correta é letra E

OQ =

square root of open parentheses 3 minus 0 close parentheses squared plus open parentheses 3 minus 0 close parentheses squared end root space equals 3 space square root of 2

OP = OQ =

3 square root of 2

e, portanto, P(0;

3 square root of 2

)

Assim, o ponto R, de coordenadas (r;

3 square root of 2

) e pertencente à curva de equação y =

square root of x

é tal que:

3 square root of 2 space equals square root of r space left right double arrow space open parentheses 3 space. space square root of 2 close parentheses squared space equals open parentheses square root of r close parentheses squared left right double arrow r equals 18

Desta forma, R(18;

3 square root of 2

)

43) A circunferência λ representada a seguir é tangente ao eixo das ordenadas na origem do sistema de eixos cartesianos.

A equação de λ, é

A) x² + y² + 4x + 4 = 0
B) x² + y² + 4y + 4 = 0
C) x² + y² + 4x = 0
D) x² + y² + 4y = 0
E) x² + y² + 4 = 0

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A alternativa correta é letra C

A equação geral de uma circunferência é dada por:

(x - x_{c})^{2} + (y - y_{c})^{2} = r^{2}

onde o centro é dado por

C = (x_{c}, y_{c})

e o raio é igual a r.
Na figura observamos que o centro da circunferência é dado por (-2,0). Como a circunferência tangencia o eixo das ordenadas na origem podemos afirmar que o raio da circunferência é a distancia do ponto (0,0) até o centro. Esta distância vale 2.
Portanto substituindo os valores na equação geral teremos

(x - (- 2))^{2} + (y - 0)^{2} = 2^{2} x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} = 4 x^{2} + y^{2} + 4 x = 0

Logo, a alternativa correta é a C.

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44) Uma circunferência com centro no ponto P=(a, b) passa pelo ponto Q=(-a, b). O raio desta circunferência é:

A) $\sqrt{(a^{2} + b^{2})}$
B) a
C) b
D) 2 a
E) 2 b

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A alternativa correta é letra D

Sabendo que a equação de uma circunferência é dada pela fórmula,

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}

Sendo

P (x_{0}, y_{0}) = c e n t r o d a c i r c u n f e r ê n c i a

e r=raio. Com os dados do enunciado, temos:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Como a circunferência passa pelo ponto Q, teremos:

\begin{array}{l} (- a - a)^{2} + (b - b)^{2} = r^{2} \\ 4 a^{2} = r^{2} \\ r = 2 a \end{array}

Alternativa D.

45) A equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R = 4 é:

A) x² + y² – 6x – 10y + 18 = 0.
B) x² – y² – 6x – 10y + 18 = 0.
C) x² + y² + 6x – 10y + 18 = 0.
D) x² + y² – 6x + 10y + 18 = 0.
E) x² + y² – 6x – 10y – 18 = 0.

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A alternativa correta é letra A

A equação de uma circunferência é dada por:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} c o m c e n t r o C (a, b) e r a i o r

Desta forma como o centro é C(3,5) e r=4, teremos

(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 4^{2} x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 = 16 x^{2} + y^{2} - 6 x - 10 y + 18 = 0

Alternativa A.

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46) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação y = x2 e que estão alinhados com os pontos A(0,3) e B(4,0). A soma das abscissas dos pontos R e S é:

A) – 0,45.
B) – 0,55.
C) – 0,65.
D) – 0,75.
E) – 0,85.

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A alternativa correta é letra D

Já que R e S estão alinhados com os pontos A e B a primeira coisa a fazer é determinar é a equação da reta que passa por estes 4 pontos utilizando as coordenadas de A e B.

|\begin{matrix} 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ x & y & 1 \end{matrix}| = 0 3 x + 4 y - 12 = 0 y = \frac{- 3 x + 12}{4}

Se estes pontos pertencem simultaneamente a parábola e a reta basta igualar as duas equações.

\frac{- 3 x + 12}{4} = x^{2} 4 x^{2} = - 3 x + 12 4 x^{2} + 3 x - 12 = 0

Como o resultado é uma equação do 2º grau e a soma das raízes é dado por -b/a=-3/4=-0,75

47) As retas de equações 3x – y + 5 = 0 e 2x + y + 3 = 0, formam um ângulo de:

A) 90°.
B) 60°.
C) 45°.
D) 120°.
E) 30°.

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A alternativa correta é letra C

Para definirmos o ângulo formado entre as duas retas, devemos saber a seguinte relação:

t g β = |\frac{m_{s} - m_{r}}{1 + m_{s} . m_{r}}|

onde ms e mr são os coeficientes de cada reta, assim devemos determinar os coeficientes das retas dadas no enunciado.

\begin{array}{l} s : 3 x - y + 5 = 0 \\ m_{s} = 3 \\ r : 2 x + y + 3 = 0 \\ m_{r} = - 2 \\ L o g o \\ t g β = |\frac{3 + 2}{1 - 6}| = \frac{5}{5} = 1 \\ β = 45 ° \end{array}

Alternativa C.

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48) A relação entre m e n para que as retas de equações 2x – my + 1 = 0 e nx + 3y + 5 = 0 sejam paralelas é:

A) m/n = 3/2
B) m/n = -3/2
C) m.n = 6
D) m.n = -6
E) m.n = 3

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A alternativa correta é letra D

Para que duas retas sejam paralelas, os coeficientes angulares devem ser iguais. Os coeficientes angulares são os coeficientes que acompanham a incógnita x, quando isolamos y na equação, ou seja:

2 x - m y + 1 = 0 - m y = - 2 x - 1 y = \frac{2}{m} x + \frac{1}{m} n x + 3 y + 5 = 0 3 y = - n x - 5 y = - \frac{n}{3} x - \frac{5}{3} α_{1} = \frac{2}{m} e α_{2} = - \frac{n}{3} α_{1} = α_{2} \frac{2}{m} = - \frac{n}{3} m . n = - 6

Portanto a alternativa correta é a D.

49) Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, considere as afirmativas:

I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.

II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano.

III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano.

IV. Se duas retas, r e s, são reversas, então existe um único plano que contém r e é paralelo a s.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:

A) I e II
B) I e IV
C) III e IV
D) I,II e III
E) II,III e IV

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A alternativa correta é letra C

Analisando cada afirmativa temos:
I) Errado, podem ser reversas
II) Errado, podem ser colineares e determinar infinitos planos
III) Correto, definição
IV) Correto, esse plano possui retas reversas e paralela a outra reta

Alternativa correta é a Letra C

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50) A trajetória de um móvel no plano cartesiano pode ser descrita, em função do tempo t, pelas equações:

x=2+ty=3t

Essa trajetória determina uma reta:

A) que contém os pontos (3; 9) e (-2; 6)
B) paralela à reta de equação 6x - 2y - 1 = 0
C) perpendicular à reta de equação 3x - y + 1 = 0
D) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3)
E) perpendicular à reta de equação 5x - y = 0

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A alternativa correta é letra B

\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 t \end{matrix}

Isolando "t", temos:

t= x - 2;
t= y/3;

Igualando ambos temos:

x - 2=y/3 ;
y=3x - 6;

Condição para ser paralela: mesmo coeficiente angular(número que está multiplicando o x na equação da reta).
Condição para ser perpendicular: coeficientes angulares opostos e inversos.

Portanto, é uma reta com coeficiente angular 3, sendo assim paralela à reta de equação 6x - 2y -1 = 0, que possui o mesmo coeficiente angular, já que:
6x - 2y- 1 =0;
y=3x - 0,5 ;

ALTERNATIVA B.

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