Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

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41) A distância do centro da circunferência x2 + 2x + y2 – 4y + 2 = 0 à origem é

A) 3.
B) $\sqrt{5}$ .
C) $\sqrt{3}$ .
D) $\sqrt{2}$ .
E) 1.

A alternativa correta é letra B

O primeiro passo é encontrar as coordenadas do centro da circunferência (x_c,y_c). Para isso, podemos utilizar o modelo da equação reduzida da circunferência

(x - x^c)² + (y - y^c)² = r²

Desenvolvendo esta equação temos

x² - 2.x.x_c + x_c² + y² - 2.y.y_c + y_c² - r² = 0

Organizando temos

x² - 2.x.x_c + y² - 2.y.y_c+ x_c² + y_c² - r² = 0

Comparando com a equação geral do exercício temos

x² + 2x + y²– 4y + 2 = 0

- 2.x.x_c= 2x ⇔ x_c = -1

- 2.y.y_c= -4y ⇔ y_c = 2

Sendo o centro da circunferência C(-1,2) sua distância até a origem O(0,0) pode ser calculada

d = \sqrt{{(- 1 - 0)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = \sqrt{5}

Alternativa B

42) Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto de intersecção da circunferência com o eixo y.

A) 9.
B) 16.
C) 15.
D) 12.
E) 18.

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A alternativa correta é letra E

OQ =

square root of open parentheses 3 minus 0 close parentheses squared plus open parentheses 3 minus 0 close parentheses squared end root space equals 3 space square root of 2

OP = OQ =

3 square root of 2

e, portanto, P(0;

3 square root of 2

)

Assim, o ponto R, de coordenadas (r;

3 square root of 2

) e pertencente à curva de equação y =

square root of x

é tal que:

3 square root of 2 space equals square root of r space left right double arrow space open parentheses 3 space. space square root of 2 close parentheses squared space equals open parentheses square root of r close parentheses squared left right double arrow r equals 18

Desta forma, R(18;

3 square root of 2

)

43) A circunferência λ representada a seguir é tangente ao eixo das ordenadas na origem do sistema de eixos cartesianos.

A) x² + y² + 4x + 4 = 0
B) x² + y² + 4y + 4 = 0
C) x² + y² + 4x = 0
D) x² + y² + 4y = 0
E) x² + y² + 4 = 0

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A alternativa correta é letra C

A equação geral de uma circunferência é dada por:

(x - x_{c})^{2} + (y - y_{c})^{2} = r^{2}

onde o centro é dado por

C = (x_{c}, y_{c})

e o raio é igual a r.
Na figura observamos que o centro da circunferência é dado por (-2,0). Como a circunferência tangencia o eixo das ordenadas na origem podemos afirmar que o raio da circunferência é a distancia do ponto (0,0) até o centro. Esta distância vale 2.
Portanto substituindo os valores na equação geral teremos

(x - (- 2))^{2} + (y - 0)^{2} = 2^{2} x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} = 4 x^{2} + y^{2} + 4 x = 0

Logo, a alternativa correta é a C.

44) Uma circunferência com centro no ponto P=(a, b) passa pelo ponto Q=(-a, b). O raio desta circunferência é:

A) $\sqrt{(a^{2} + b^{2})}$
B) a
C) b
D) 2 a
E) 2 b

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A alternativa correta é letra D

Sabendo que a equação de uma circunferência é dada pela fórmula,

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}

Sendo

P (x_{0}, y_{0}) = c e n t r o d a c i r c u n f e r ê n c i a

e r=raio. Com os dados do enunciado, temos:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Como a circunferência passa pelo ponto Q, teremos:

\begin{array}{l} (- a - a)^{2} + (b - b)^{2} = r^{2} \\ 4 a^{2} = r^{2} \\ r = 2 a \end{array}

Alternativa D.

45) A equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R = 4 é:

A) x² + y² – 6x – 10y + 18 = 0.
B) x² – y² – 6x – 10y + 18 = 0.
C) x² + y² + 6x – 10y + 18 = 0.
D) x² + y² – 6x + 10y + 18 = 0.
E) x² + y² – 6x – 10y – 18 = 0.

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A alternativa correta é letra A

A equação de uma circunferência é dada por:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} c o m c e n t r o C (a, b) e r a i o r

Desta forma como o centro é C(3,5) e r=4, teremos

(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 4^{2} x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 = 16 x^{2} + y^{2} - 6 x - 10 y + 18 = 0

Alternativa A.

46) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação y = x2 e que estão alinhados com os pontos A(0,3) e B(4,0). A soma das abscissas dos pontos R e S é:

A) – 0,45.
B) – 0,55.
C) – 0,65.
D) – 0,75.
E) – 0,85.

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A alternativa correta é letra D

Já que R e S estão alinhados com os pontos A e B a primeira coisa a fazer é determinar é a equação da reta que passa por estes 4 pontos utilizando as coordenadas de A e B.

|\begin{matrix} 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ x & y & 1 \end{matrix}| = 0 3 x + 4 y - 12 = 0 y = \frac{- 3 x + 12}{4}

Se estes pontos pertencem simultaneamente a parábola e a reta basta igualar as duas equações.

\frac{- 3 x + 12}{4} = x^{2} 4 x^{2} = - 3 x + 12 4 x^{2} + 3 x - 12 = 0

Como o resultado é uma equação do 2º grau e a soma das raízes é dado por -b/a=-3/4=-0,75

47) As retas de equações 3x – y + 5 = 0 e 2x + y + 3 = 0, formam um ângulo de:

A) 90°.
B) 60°.
C) 45°.
D) 120°.
E) 30°.

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A alternativa correta é letra C

Para definirmos o ângulo formado entre as duas retas, devemos saber a seguinte relação:

t g β = |\frac{m_{s} - m_{r}}{1 + m_{s} . m_{r}}|

onde ms e mr são os coeficientes de cada reta, assim devemos determinar os coeficientes das retas dadas no enunciado.

\begin{array}{l} s : 3 x - y + 5 = 0 \\ m_{s} = 3 \\ r : 2 x + y + 3 = 0 \\ m_{r} = - 2 \\ L o g o \\ t g β = |\frac{3 + 2}{1 - 6}| = \frac{5}{5} = 1 \\ β = 45 ° \end{array}

Alternativa C.

48) A relação entre m e n para que as retas de equações 2x – my + 1 = 0 e nx + 3y + 5 = 0 sejam paralelas é:

A) m/n = 3/2
B) m/n = -3/2
C) m.n = 6
D) m.n = -6
E) m.n = 3

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A alternativa correta é letra D

Para que duas retas sejam paralelas, os coeficientes angulares devem ser iguais. Os coeficientes angulares são os coeficientes que acompanham a incógnita x, quando isolamos y na equação, ou seja:

2 x - m y + 1 = 0 - m y = - 2 x - 1 y = \frac{2}{m} x + \frac{1}{m} n x + 3 y + 5 = 0 3 y = - n x - 5 y = - \frac{n}{3} x - \frac{5}{3} α_{1} = \frac{2}{m} e α_{2} = - \frac{n}{3} α_{1} = α_{2} \frac{2}{m} = - \frac{n}{3} m . n = - 6

Portanto a alternativa correta é a D.

49) Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, considere as afirmativas:

A) I e II
B) I e IV
C) III e IV
D) I,II e III
E) II,III e IV

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A alternativa correta é letra C

Analisando cada afirmativa temos:
I) Errado, podem ser reversas
II) Errado, podem ser colineares e determinar infinitos planos
III) Correto, definição
IV) Correto, esse plano possui retas reversas e paralela a outra reta

Alternativa correta é a Letra C

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50) A trajetória de um móvel no plano cartesiano pode ser descrita, em função do tempo t, pelas equações:

A) que contém os pontos (3; 9) e (-2; 6)
B) paralela à reta de equação 6x - 2y - 1 = 0
C) perpendicular à reta de equação 3x - y + 1 = 0
D) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3)
E) perpendicular à reta de equação 5x - y = 0

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A alternativa correta é letra B

\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 t \end{matrix}

Isolando "t", temos:

t= x - 2;
t= y/3;

Igualando ambos temos:

x - 2=y/3 ;
y=3x - 6;

Condição para ser paralela: mesmo coeficiente angular(número que está multiplicando o x na equação da reta).
Condição para ser perpendicular: coeficientes angulares opostos e inversos.

Portanto, é uma reta com coeficiente angular 3, sendo assim paralela à reta de equação 6x - 2y -1 = 0, que possui o mesmo coeficiente angular, já que:
6x - 2y- 1 =0;
y=3x - 0,5 ;

ALTERNATIVA B.

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