Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

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51) A equação da reta que passa por A (-1,5) e é perpendicular á reta x-2y+1=0 é:

A) 2x-y+3=0.
B) 2x+y-4=0.
C) x+2y-1=0.
D) x-2y+1=0.
E) 2x+y-3=0.

A alternativa correta é letra E

Inicialmente devemos encontrar o valor do coeficiente angular da reta dada. Assim:

\begin{array}{l} - 2 y = - x - 1 \\ y = \frac{1}{2} (x + 1) \end{array}

Portanto o coeficiente angular da reta dada é 1/2. Sabemos que para duas retas serem perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser -1.Portanto,

\begin{array}{l} \frac{1}{2} . m = - 1 \\ m = - 2 \end{array}

o coeficiente angular da reta pedida é -2. Por fim utilizando a equação geral de uma reta, podemos definir a equação da reta pedida.

\begin{array}{l} (y - y_{0}) = m (x - x_{0}) \\ y - 5 = - 2 (x + 1) \\ y + 2 x - 5 + 2 = 0 \\ y + 2 x - 3 = 0 \end{array}

Alternativa E.

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52) Os pares (x , y ) dados abaixo pertencem a uma reta (r) do plano cartesiano:

Podemos afirmar que

A) a reta (r) determina com os eixos cartesianos um triângulo de área 1,6.
B) A reta (r) intercepta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa $\frac{4}{5}$ .
C) y será positivo se, e somente se, x > $\frac{- 4}{5}$ .
D) a reta (r) intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa – 4.
E) o coeficiente angular da reta (r) é – 5.

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A alternativa correta é letra A

Se r é uma reta, então sua lei de formação corresponde a y = ax + b.
Substituindo dois pontos arbitrários na equação da reta temos o sistema:

open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell negative 4 space equals space a times 0 space plus space b end cell row cell 6 space equals space a times 2 space plus space b end cell end table close tilde open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell negative 4 space equals space b end cell row cell 6 space equals space a times 2 space minus space 4 end cell end table close tilde open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell negative 4 space equals space b end cell row cell 5 space equals space a end cell end table close

Portanto, a equação da reta r equivale a

y space equals space 5 x space minus space 4

, cortando o eixo x no ponto

0 space equals space 5 x space minus space 4 x space equals space 4 over 5

.
e cortando o eixo y no ponto

y space equals space minus 4

.
Portanto, temos um triângulo de altura |-4| e base

4 over 5

. Logo, a área desse triângulo corresponde a

fraction numerator begin display style 4 over 5 times 4 end style over denominator 2 end fraction equals space 16 over 5 times 1 half equals 1 comma 6

. Alternativa A.

53) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a:

A) - 4.
B) - 2.
C) 4.
D) 6.
E) 8.

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A alternativa correta é letra D

Substituindo os valores de x e y no ponto (2,5):

\{y = a x + 1 y = b x + c\} \to \{5 = 2 a + 1 5 = 2 b + c\}

Tiramos então que

a = 2

.

Como as retas são perpendiculares:

C o m o t g (\frac{π}{2} + α) = - \frac{1}{t g (α)} t e m o s : b = - \frac{1}{a} \Rightarrow b = - \frac{1}{2}

Da segunda equação tiramos que:

c = 5 - 2 b \Rightarrow c = 6

Alternativa D.

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54) Na figura abaixo, os pontos A e B são as intersecções dos gráficos das funções f e g.

Se g(x) = 2x, então f(10) é igual a

A) 3.
B) 4.
C) 6.
D) 7.
E) 9.

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A alternativa correta é letra C

Os pontos A(0, y_A) e B(2, y_B) pertencem aos dois gráficos, portanto substituindo suas coordenadas em g(x) obtemos g(0)=1 e g(2)=2, sendo assim encontramos as coordenadas de A e B como sendo A(0,1) e B(2,2). Da equação da reta temos:

y - 2 = \frac{2 - 1}{2 - 0} . (x - 2)

, escolhendo-se o ponto B. Simplificando obtemos

y = \frac{x}{2} + 1

. Sendo assim, f(10)=6.

55) Em problemas de capitalização composta, frequentemente precisamos calcular o valor de (1 + i)t, sendo conhecidos a taxa de juro i, e o prazo da aplicação t. Observe a representação gráfica da função f(i) = (1 + i)t, no intervalo [0,02; 0,03], para um certo valor fixado de t.

Sem o uso de calculadoras ou tábuas financeiras, é possível aproximar f(i) para valores de i entre 0,02 (2%) e 0,03 (3%) pelo método chamado de interpolação linear, que consiste em calcular f(i) usando a função cujo gráfico é a reta que passa por (0,02; f(0,02)) e (0,03; f(0,03)).
Calculando uma aproximação de f(i) por interpolação linear, sobre a função descrita no gráfico, para a taxa de juro de 2,37%, obtém-se

A) 1,0898.
B) 1,0924.
C) 1,0948.
D) 1,1008.
E) 1,1022.

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A alternativa correta é letra C

Olhando para o gráfico podemos obter os pontos:

(0,02;f(0,02)) = (0,02;1,08) e

(0,03;f(0,03)) = (0,03;1,12).

E então, queremos determinar quem é o ponto:

(0,0237;f(0,0237)) = (0,0237;x).

Sabemos que eles devem ser alinhados, dessa forma então, podemos montar o determinante:

|\begin{matrix} 0, 0237 & x & 1 \\ 0, 02 & 1, 08 & 1 \\ 0, 03 & 1, 12 & 1 \end{matrix}| = 0

Resolvendo o determinante montado, obtemos:

0, 025596 + 0, 03 x + 0, 0224 - 0, 0324 - 0, 02 x - 0, 026544 = 0

Então, encontrando o valor de x, temos:

0, 01 x = 0, 010948 \Rightarrow 1, 0948

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

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56) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:

A) y = 2x + 1.
B) y = 2x -1.
C) y = x/2.
D) y = 2x.
E) y = x.

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A alternativa correta é letra D

Note que,

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0 x^{2} - 2 x + 1 - 1 + y^{2} - 4 y + 4 - 4 - 4 = 0 (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

Logo, A=(1, 2). Assim,

y - 0 = (\frac{2 - 0}{1 - 0}) (x - 0) \Rightarrow y = 2 x

Alternativa D.

57) Considere os pontos A(3, 2) e B(6, –1) do plano cartesiano. Seja P um ponto do eixo das abscissas tal que a reta AP seja perpendicular à reta BP. As abscissas possíveis de P têm por soma o número:

A) 11
B) 9
C) 12
D) 8
E) 10

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A alternativa correta é letra B

Como P é um ponto do eixo das abscissas, suas coordenadas serão P=(x,0).
Vamos considerar a reta r, aquela formada pelos pontos A e P e a reta s aquela formada pelos pontos P e B.
Como as retas r e s são perpendiculares, podemos afirmar que o produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1. Logo,

m_{r} . m_{s} = - 1 . - \frac{2}{x - 3} . \frac{1}{x - 6} = - 1 \frac{- 2}{(x - 3) (x - 6)} = - 1 - 2 = - 1 (x^{2} - 9 x + 18) x^{2} - 9 x + 16 = 0 U s a n d o a f ó r m u l a d e b h á s k a r a, t e m - s e : x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2} x = \frac{9 \pm 5}{2} x' = 7 e x'' = 2 L o g o, a s o m a d o s p o s s í v e i s v a l o r e s d e x é 9 e p o r \tan t o, a a l t e r n a t i v a c o r r e t a é a l e t r a B .

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58) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2) são, respectivamente:

A) $\frac{1}{3}; x - 3 y - 5 = 0$ .
B) $\frac{2}{3}; 2 x - 3 y - 1 = 0$ .
C) $- \frac{1}{3}; x + 3 y - 5 = 0$ .
D) $\frac{1}{3}; x + 3 y - 5 = 0$ .
E) $- \frac{1}{3}; x + 3 y + 5 = 0$ .

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A alternativa correta é letra C

Queremos determinar a equação geral da reta passa pelos pontos P(2,1) e Q(-1,2) sendo este último simétrico de Q‛(1,2) em relação ao eixo y.

Da geometria analítica sabemos achar a equação geral da reta usando determinante.

Dados P e Q temos:

|\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \\ x & y & 1 \end{matrix}| = 0

\Rightarrow 4 + x - y - 2 x - 2 y + 1 = 0

- x - 3 y + 5 = 0 o u x + 3 y - 5 = 0

Seja a equação da reta na forma reduzida y = mx + n onde m é o coeficiente angular.

Isolando y na equação geral temos a forma reduzida e o coeficiente angular:

y = - \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} \Rightarrow coef . angular = - \frac{1}{3}

Alternativa c.

59) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação da reta r é:

A) 2y + x = 10.
B) y = x +2.
C) 2y - x = 6.
D) 2x + y = 8.
E) y = 2x.

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A alternativa correta é letra E

Uma condição suficiente e necessária para duas retas serem perpendiculares é que seus coeficientes angulares sejam inversos e opostos. Assim

m_{s} = - \frac{1}{m_{r}}

Sabendo que a reta s passa pelos pontos (0,5) e (2,4), temos

(y - 5) = m_{s} (x - 0) (1) (y - 4) = m_{s} (x - 2) (2) m_{s} = \frac{y - 5}{x} (1) m_{s} = \frac{y - 4}{x - 2} (2) D e (1) = (2) \frac{y - 5}{x} = \frac{y - 4}{x - 2} x y - 5 x - 2 y + 10 = x y - 4 x - 2 y - x + 10 = 0 y = - \frac{1}{2} (x - 10)

Portanto

m_{s} = - \frac{1}{2} e m_{r} = 2

. Desta forma, podemos determinar a reta r, já que sabemos que ela passa pelo ponto (2,4) e possui coeficiente angular 2.

(y - 4) = 2 (x - 2) y - 4 = 2 x - 4 y = 2 x

Alternativa E.

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60) Seja a reta r, de equação y = (x/2) + 17. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é

A) 2y = (x/2) + 10
B) 2y = - 2x + 5
C) 2y = x + 12
D) y = - 2x + 5
E) y = x + 34

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A alternativa correta é letra C

Duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são iguais. A reta r dada possui coeficiente igual a 1/2. A unica alternativa que possui coeficiente agular igual a 1/2 é a C.

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