Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio
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51) A equação da reta que passa por A (-1,5) e é perpendicular á reta x-2y+1=0 é:
- A) 2x-y+3=0.
- B) 2x+y-4=0.
- C) x+2y-1=0.
- D) x-2y+1=0.
- E) 2x+y-3=0.
A alternativa correta é letra E
Inicialmente devemos encontrar o valor do coeficiente angular da reta dada. Assim:
Portanto o coeficiente angular da reta dada é 1/2. Sabemos que para duas retas serem perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser -1.Portanto,
o coeficiente angular da reta pedida é -2. Por fim utilizando a equação geral de uma reta, podemos definir a equação da reta pedida.
Alternativa E.
52) Os pares (x , y ) dados abaixo pertencem a uma reta (r) do plano cartesiano:
- A) a reta (r) determina com os eixos cartesianos um triângulo de área 1,6.
- B) A reta (r) intercepta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa .
- C) y será positivo se, e somente se, x > .
- D) a reta (r) intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa – 4.
- E) o coeficiente angular da reta (r) é – 5.
A alternativa correta é letra A
Se r é uma reta, então sua lei de formação corresponde a y = ax + b.
Substituindo dois pontos arbitrários na equação da reta temos o sistema:
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Portanto, a equação da reta r equivale a
, cortando o eixo x no ponto
.
e cortando o eixo y no ponto
.
Portanto, temos um triângulo de altura |-4| e base
. Logo, a área desse triângulo corresponde a
. Alternativa A.
Substituindo dois pontos arbitrários na equação da reta temos o sistema:
Portanto, a equação da reta r equivale a
e cortando o eixo y no ponto
Portanto, temos um triângulo de altura |-4| e base
53) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a:
- A) - 4.
- B) - 2.
- C) 4.
- D) 6.
- E) 8.
A alternativa correta é letra D
Substituindo os valores de x e y no ponto (2,5):
Tiramos então que .
Como as retas são perpendiculares:
Da segunda equação tiramos que:
Alternativa D.
Tiramos então que .
Como as retas são perpendiculares:
Da segunda equação tiramos que:
Alternativa D.
54) Na figura abaixo, os pontos A e B são as intersecções dos gráficos das funções f e g.
- A) 3.
- B) 4.
- C) 6.
- D) 7.
- E) 9.
A alternativa correta é letra C
Os pontos A(0, yA) e B(2, yB) pertencem aos dois gráficos, portanto substituindo suas coordenadas em g(x) obtemos g(0)=1 e g(2)=2, sendo assim encontramos as coordenadas de A e B como sendo A(0,1) e B(2,2). Da equação da reta temos:
, escolhendo-se o ponto B. Simplificando obtemos . Sendo assim, f(10)=6.
55) Em problemas de capitalização composta, frequentemente precisamos calcular o valor de (1 + i)t, sendo conhecidos a taxa de juro i, e o prazo da aplicação t. Observe a representação gráfica da função f(i) = (1 + i)t, no intervalo [0,02; 0,03], para um certo valor fixado de t.
- A) 1,0898.
- B) 1,0924.
- C) 1,0948.
- D) 1,1008.
- E) 1,1022.
A alternativa correta é letra C
Olhando para o gráfico podemos obter os pontos:
(0,02;f(0,02)) = (0,02;1,08) e
(0,03;f(0,03)) = (0,03;1,12).
E então, queremos determinar quem é o ponto:
(0,0237;f(0,0237)) = (0,0237;x).
Sabemos que eles devem ser alinhados, dessa forma então, podemos montar o determinante:
Resolvendo o determinante montado, obtemos:
Então, encontrando o valor de x, temos:
Portanto, a resposta correta é a alternativa C.
56) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:
- A) y = 2x + 1.
- B) y = 2x -1.
- C) y = x/2.
- D) y = 2x.
- E) y = x.
A alternativa correta é letra D
Note que,
Logo, A=(1, 2). Assim,
Logo, A=(1, 2). Assim,
Alternativa D.
57) Considere os pontos A(3, 2) e B(6, –1) do plano cartesiano. Seja P um ponto do eixo das abscissas tal que a reta AP seja perpendicular à reta BP. As abscissas possíveis de P têm por soma o número:
- A) 11
- B) 9
- C) 12
- D) 8
- E) 10
A alternativa correta é letra B
Como P é um ponto do eixo das abscissas, suas coordenadas serão P=(x,0).
Vamos considerar a reta r, aquela formada pelos pontos A e P e a reta s aquela formada pelos pontos P e B.
Como as retas r e s são perpendiculares, podemos afirmar que o produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1. Logo,
Vamos considerar a reta r, aquela formada pelos pontos A e P e a reta s aquela formada pelos pontos P e B.
Como as retas r e s são perpendiculares, podemos afirmar que o produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1. Logo,
58) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2) são, respectivamente:
- A) .
- B) .
- C) .
- D) .
- E) .
A alternativa correta é letra C
Queremos determinar a equação geral da reta passa pelos pontos P(2,1) e Q(-1,2) sendo este último simétrico de Q‛(1,2) em relação ao eixo y.
Da geometria analítica sabemos achar a equação geral da reta usando determinante.
Dados P e Q temos:
Seja a equação da reta na forma reduzida y = mx + n onde m é o coeficiente angular.
Isolando y na equação geral temos a forma reduzida e o coeficiente angular:
.
Alternativa c.
59) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação da reta r é:
- A) 2y + x = 10.
- B) y = x +2.
- C) 2y - x = 6.
- D) 2x + y = 8.
- E) y = 2x.
A alternativa correta é letra E
Uma condição suficiente e necessária para duas retas serem perpendiculares é que seus coeficientes angulares sejam inversos e opostos. Assim
Sabendo que a reta s passa pelos pontos (0,5) e (2,4), temos
Portanto . Desta forma, podemos determinar a reta r, já que sabemos que ela passa pelo ponto (2,4) e possui coeficiente angular 2.
Alternativa E.
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60) Seja a reta r, de equação y = (x/2) + 17. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é
- A) 2y = (x/2) + 10
- B) 2y = - 2x + 5
- C) 2y = x + 12
- D) y = - 2x + 5
- E) y = x + 34
A alternativa correta é letra C
Duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são iguais. A reta r dada possui coeficiente igual a 1/2. A unica alternativa que possui coeficiente agular igual a 1/2 é a C.