Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

61) Considere a reta r de equação y = 2x + 1. Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P = (4,2) ?

A) y = x/2
B) y = -2x + 10
C) y = - x/2 + 5
D) y = -2x
E) y = -x/2 + 4

A alternativa correta é letra E

Seja s a reta perpendicular a r e que passa pelo ponto
P (4,2) . Logo, como mr = 2, segue que a equação de s é
y – 2 = -1/2 . (x - 4)→y = -1/2 x+ 4

62) Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1,-2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y+2x=8. A equação da reta que representa a trajetória da primeira formiga é

A) 2y - x + 5 = 0
B) y - x + 3 = 0
C) + y + x + 1 = 0
D) 2y + x + 2 = 0
E) y = x

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A alternativa correta é letra A

Deixando na forma reduzida a equação da reta temos:

y + 2 x = 8 y = - 2 x + 8 m = - 2

Como o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a -1 temos:

m . m_{p} = - 1 - 2 . m_{p} = - 1 m_{p} = 1 / 2

Sabendo disso podemos encontrar a reta perpendicular substituindo o ponto informado, logo:

y - y_{0} = m_{p} (x - x_{0}) y - (- 2) = 1 / 2 (x - 1) y + 2 = x / 2 - 1 / 2 y - x / 2 + 5 / 2 = 0 2 y - x + 5 = 0

Alternativa correta é a Letra A

Questão 63

A) t e u são reversas
B) s e u são reversas
C) t e u são concorrentes
D) s e r são concorrentes
E) t e u são perpendiculares

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A alternativa correta é letra A

Analisando cada alternativa temos:
a) Correta, reversas por definição
b) Errada, paralelas não são reversas
c) Errada, reversas, nunca se tocam
d) Errada, reversas, nunca se tocam
e) Errada, além de reversas pela definição de prumo o triangulo da parede para apoio do telhado é equilátero com lados 4m, logo seus ângulos internos são de 60º, logo o angulo entre elas seria de 30º

Questão 64

BC = 10.

A equação da reta AB é:

A) x + 4y - 14 = 0
B) x - 4y + 14 = 0
C) 4x + y - 14 = 0
D) 4x - y + 14 = 0
E) x + 2y - 7 = 0

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A alternativa correta é letra A

Pela figura, podemos calcular o valor do cateto paralelo ao eixo y do triângulo que tem como hipotenusa o lado BC e como catetos, projeções paralelas dos eixos x e y que tocam os pontos C e B respectivamente.
Por Pitágoras:

(\sqrt{10})^{2} = (3)^{2} + x^{2} \Rightarrow x = 1

A reta que passa por AB forma um ângulo

α

com o eixo x. A tangente desse ângulo é:

t g (α) = - \frac{1}{4}

Da equação da reta, aplicando tanto o ponto A quanto o ponto B (pois ambos fazem parte da reta), temos:

(y - y_{0}) = t g (α) (x - x_{0})

Fazendo A = (x₀, y₀) = (3, 2) temos:

(y - 3) = - \frac{1}{4} (x - 2) \Rightarrow x + 4 y - 14 = 0

Alternativa A.

65) No plano cartesiano, as retas de equações 2x + y = –1, x – y – 4 = 0 e 2x + my = 7 concorrem em um mesmo ponto. O valor de m é:

A) $- \frac{1}{3}$
B) $- \frac{2}{3}$
C) $- 1$
D) $- \frac{4}{3}$
E) $- \frac{5}{3}$

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A alternativa correta é letra E

Dizer que as retas concorrem a um ponto quer dizer que existe um ponto que é comum às três retas e para encontrá-lo basta fazer um sistema de equações com as equações que não tem variável além de x e y; e depois substituir o ponto comum na equação da última reta. Logo,

\{\begin{cases} 2 x + y = - 1 \\ x - y = 4 \end{cases} A d i c i o n a n d o a s d u a s e q u a ç õ e s, t e m - s e : 3 x = 3 x = 1 S u b s t i t u i n d o x = 1 n a p r i m e i r a e q u a ç ã o, t e m - s e 2.1 + y = - 1 L o g o, y = - 3 O p o n t o d e i n t e r s e ç ã o d a s t r ê s r e t a s é (1, - 3) S u b s t i t u i n d o n a e q u a ç ã o 2 x + m y = 7, t e m - s e : 2.1 + m . (- 3) = 7 - 3 m = 5 (- 1) 3 m = - 5 m = - \frac{5}{3}

Logo, a alternativa correta é a letra E.

66) Dados os pontos A (1,2) e B (3,0), o segmento AB é prolongado, no sentido e A para B, até o ponto C, tal que AC= 3AB. A soma das coordenadas do ponto C vale:

A) 3.
B) 7.
C) 4.
D) 11.
E) -11.

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A alternativa correta é letra A

Note que A, B e C pertencem a mesma reta r. Podemos determinar r da seguinte forma:

r:

y = (\frac{3 - 1}{0 - 2}) (x - 3) = 3 - x

Ou seja, todo ponto de r pode ser escrito como (x, 3-x), note que para x=1, temos A=(1, 2), para x=3, temos B=(3, 0) e para um x qualquer, temos C=(x, 3-x).
Portanto, x+(3-x)=3.

Alternativa A.

Questão 67

Em relação ao gráfico, considerando 2007 como x=1, 2008 como x=2 e assim sucessivamente, a função afim y=ax+b que melhor expressa a evolução das notas em Matemática do grupo II é:

A) $y = \frac{5}{2} x + \frac{145}{2}$
B) $y = - \frac{5}{2} x + \frac{145}{2}$
C) $y = - \frac{2}{5} x - \frac{145}{2}$
D) $y = \frac{2}{5} x + \frac{145}{2}$
E) $y = - 5 x - 145$

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A alternativa correta é letra B

Através do gráfico, podemos observar dois pontos por onde a reta do grupo II passa, são eles: (2007,70) e (2009,65). Como o enunciado determina que 2007 equivale a x = 1, 2008 a x = 2, 2009 será, então, equivalente a x = 3. Assim, os pontos serão na realidade (1,70) e (3,65). Sabemos que a equação de uma reta é expressa por:

y = ax + b

Então, basta substituirmos os valores de x e y pelos pontos obtidos para definirmos os coeficientes a e b:

\{\begin{cases} 70 = 1 . a + b \\ 65 = 3 a + b \end{cases} \to \{\begin{cases} a = 70 - b (I) \\ 3 a + b = 65 (II) \end{cases}

Então, de I em II, temos:

3 (70 - b) + b = 65 \Rightarrow 210 - 3 b + b = 65

- 2 b = - 145 \Rightarrow b = \frac{145}{2}

a = 70 - \frac{145}{2} \Rightarrow \frac{140 - 145}{2} \Rightarrow - \frac{5}{2}

Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

68) Uma reta tem equação 3y-2x+12=0. Os parâmetros (coeficientes) angulares e lineares, nesta ordem, são:

A) 2/3 e 4.
B) 3/2 e 12.
C) 2/3 e -12.
D) 2/3 e -4.
E) -3/2 e 4.

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A alternativa correta é letra D

Para determinarmos os coeficientes da reta devemos isolar y e deixa-la da seguinte forma:

y = a x + b

onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Assim teremos:

3 y = 2 x - 12 y = \frac{2 x - 12}{3} y = \frac{2}{3} x - 4

Portanto a alternativa correta é a letra D.

69) Observe, na tabela, os dados referentes às transferências de jogadores para o Oriente Médio. Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas a seguir.

A) y = 16(x − 2007) + 70 e 118
B) y = 21(x − 2007) + 70 e 85
C) y = 23(x − 2007) + 89 e 135
D) y = 21(x − 2007) + 89 e 126
E) y = 23(x − 2007) + 89 e 133

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A alternativa correta é letra C

A reta da equação será dada por:

(y - y_{0}) = m (x - x_{0})

em que m é dado por:

m = \frac{(112 - 89)}{(2008 - 2007)} = \frac{23}{1} = 23

Sabendo que a reta passa pelo ponto (2007,89), então temos:

y - 89 = 23 \times (x - 2007)

y = 23 \times (x - 2007) + 89

Para prevermos os dados de 2009 utilizando a reta devemos substituir o valor de x por 2009 e encontrar o valor de y correspondente. Segue:

y = 23 \times (2009 - 2007) + 89

y = 23 \times 2 + 89 = 135

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

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70) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1,1) e faz com o semi-eixo positivo 0x um ângulo de 60° é:

A) (√2)x - y = √2 -1.
B) (√3)x + y = 1 - √3.
C) (√3)x - y = √3 – 1.
D) (√3)x/2 + y = 1 - (√3)/2.
E) (√3)x/2 - y = [(√3)/3] – 1.

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A alternativa correta é letra C

A equação geral de uma reta é dada por:

(y - y_{0}) = m (x - x_{0})

Os valores de x₀e y₀são dados pelo ponto por onde a reta passa, ou seja, (1,1). Já o valor de m é dado pela tangente do ângulo formado pela reta e o eixo x. Assim

m = t g 60 ° = \sqrt{3}

Portanto a equação geral da reta dada no enunciado é

\begin{array}{l} (y - 1) = \sqrt{3} (x - 1) \\ y - 1 = \sqrt{3} x - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} x - y = \sqrt{3} - 1 \end{array}

Alternativa C.

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