Questões Sobre Geometria Analítica - Matemática - 3º ano do ensino médio

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81) A função cujo gráfico apresentado abaixo é:

A) – 3x + 15.
B) x – 14.
C) – x – 12.
D) x + 12.
E) – 2x + 14.

A alternativa correta é letra E

A maneira mais fácil de resolvermos essa questão é definindo a equação segmentária da reta:
Passos:
1º) Conhecer os pontos em que a reta "corta" os eixos cartesianos, no caso do eixo x, A=(7,0), já no caso do eixo y, B= (0,14).
2º) Montar a equação da seguinte forma:

$\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1 \frac{x}{7} + \frac{y}{14} = 1 2 x + y = 14 y = - 2 x + 14$

Portanto alternativa E.
Outra maneira mais convencional de se resolver tal exercício, é usar método do determinante, em que é preciso também apenas dois pontos da reta.

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82) Num sistema cartesiano ortogonal, considerados os pontos e a reta exibidos na figura,

o valor de t para o qual a área do polígono OABC é igual a quatro vezes a área do polígono ADEB é:

A) $- 1 + \sqrt{30}$ .
B) $1 + \sqrt{5}$ .
C) $\sqrt{10}$ .
D) 3.
E) $\frac{- 1 + \sqrt{11}}{2}$ .

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A alternativa correta é letra E

Já que C, B e E são pontos da equação da reta y = 2x + 1, temos B = (1; 2 . 1 + 1) = (1; 3), C = (0; 2 . 0 + 1) = (0; 1) e E = (t; 2t + 1);

Logo, o polígono OABC, é um trapézio de bases OC = 1 e AB = 3 e com altura OA = 1, e o polígono ADBE é um trapézio de bases AB = 3 e DE = 2t + 1 e altura AD = t - 1, t - 1, t > 1, portanto, a área de OABC é a área equivalente a quatro vezes a de ABDE, somente se:

4 . \frac{(2 t + 1 + 3) . (t - 1)}{2} = \frac{(3 + 1) . 1}{2} 2 t^{2} + 2 t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{- 1 + \sqrt{11}}{2}

Alternativa E.

83) Nessas condições, a medida do segmento DR, expressa em função de α e β, é

Nessas condições, a medida do segmento DR, expressa em função de α e β, é

A) sen α . sen β.
B) sen α . tg β.
C) cos α . sen β.
D) cos α . cos β.
E) tg α . cos β.

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A alternativa correta é letra D

Pensando no triângulo DPQ e no ângulo

α

\frac{D Q}{D P} = \cos α

Pensando no triângulo DQR e no ângulo β:

\frac{D R}{D Q} \cos β \frac{D R}{\cos α} = \cos β D R = \cos α . \cos β

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84) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que: I. Os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943. II. O centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua. III. O eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pist

A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que:
I. Os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943.
II. O centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua.
III. O eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pist

A). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos devera ser de aproximadamente:
Dados: 0,9432² ≈ 0,889 e $square root of 0 comma 111 end root$ ≈ 0,333

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A alternativa correta é letra B

Ao observarmos a figura fornecida no enunciado, vemos que a distância entre 2 postes, considerando que o centro da elipse formada pelo poste (luz irradiada) está abaixo da lâmpada do poste, é igual à distância entre os centros das elipses, ou seja, igual ao comprimento do eixo maior da elipse, 2a. O semieixo menor, que tem a metade da largura total da rua, vale, então:

b = \frac{7 + 2 \times 1, 5}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5 m

Do enunciado, sabemos também que a excentricidade da elipse vale 0,943, ou seja:

\frac{c}{a} = 0, 943 \Rightarrow c = 0, 943 \times a

Utilizando a fórmula da elipse (a²=b²+c²), substituindo os resultados já encontrados para os valores de b e c, temos que:

a^{2} = 5^{2} + (0, 943 \times a)^{2}

a^{2} \approx 25 + 0, 889 \times a^{2}

0, 111 \times a^{2} \approx 25

a \approx \frac{5}{0, 333} \Rightarrow 15 m

Assim, 2a vale aproximadamente 30 m. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

85) Os vértices de um triângulo são A (1, K), B (3,0) e C (2,1); M é o ponto médio de AB; e N é o ponto médio de BC. Se a área do triângulo MCN è 0,20, então K pode ser:

A) 6/5
B) 6
C) 18/5
D) 4
E) 5

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A alternativa correta é letra C

Inicialmente temos de calcular os pontos médios:

M = \overset{—}{A B} = (\frac{1 + 3}{2}, \frac{K + 0}{2}) = (2, K / 2) N = \overset{—}{B C} = (\frac{3 + 2}{2}, \frac{0 + 1}{2}) = (5 / 2, 1 / 2)

A área de um triangulo determinado por pontos MCN pode ser relacionada com um determinante de tal forma que:

A = (\frac{1}{2}) . |M C N|, t a l q u e |M C N| = |\begin{matrix} 2 & K / 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 / 2 & 1 / 2 & 1 \end{matrix}| L i n h a 1' = 2 . L i n h a 1 \Rightarrow m u l t i p l i c a r |M C N| p o r 1 / 2 L i n h a 3' = 2 . L i n h a 3 \Rightarrow m u l t i p l i c a r |M C N| p o r 1 / 2 (\frac{1}{4}) . |\begin{matrix} 4 & K & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 2 \end{matrix}| L i n h a 3' = L i n h a 3 - L i n h a 2 (\frac{1}{4}) . |\begin{matrix} 4 & K & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix}| L i n h a 1' = L i n h a 1 - L i n h a 3 (\frac{1}{4}) . |\begin{matrix} 1 & K & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix}| C o l u n a 1' = C o l u n a 1 - C o l u n a 3 (\frac{1}{4}) . |\begin{matrix} 0 & K & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}| = 2 K - 2 - K = K - 2 0, 2 = (\frac{1}{2}) . (\frac{1}{4}) (K - 2) 1, 6 = K - 2 K = 3, 6 = 36 / 10 = 18 / 5

Alternativa correta é a Letra C

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86) No plano cartesiano, o triângulo equilátero ABC é tal que o vértice: -A é a origem; -B tem coordenadas (6,0); -C pertence ao quarto quadrante. Nessas condições, a reta que passa por B e C intercepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada:

A) $- \frac{9 \sqrt{3}}{2}$
B) $- 5 \sqrt{3}$
C) $- \frac{11 \sqrt{3}}{2}$
D) $- 6 \sqrt{3}$
E) $- \frac{13 \sqrt{3}}{2}$

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A alternativa correta é letra D

Sabemos que A tem coordenadas (0,0) e B, (6,0). A distância do ponto A até o ponto B é 6, então a distância de A até C também deve ser 6. A reta que passa pelos pontos B e C possui coeficiente angular:

tg 60° =

\sqrt{3}

Assim, sua equação é a seguinte:

y =

\sqrt{3}

× (x – 6)

Consideremos D o ponto de intersecção dessa reta no eixo y. Sendo D (0,y_D), podemos calcular o valor de y_D:

y_D =

\sqrt{3}

× (0 – 6) = –6

\sqrt{3}

Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

87) Adote para esta questão a seguinte definição de triângulo isósceles: triângulo com apenas dois lados congruentes. Dados os pontos A e B de um plano, o lugar geométrico de todos os pontos C desse plano tais, que ABC seja um triângulo isósceles, é melhor representado pela figura

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A alternativa correta é letra C

Se o triângulo for isósceles, de base

\bar{A B}

, e não equilátero, o lugar geométrico é a reta mediatriz do segmento

\bar{A B}

, excluídos 3 pontos; dois que tornam o triângulo equilátero e o ponto médio de

\bar{A B}

, conforme figura abaixo:

Se o triângulo for isósceles, de base

A C

, não equilátero, o lugar geométrico é uma circunferência de centro em B, raio

A B

, excluindo-se 4 de seus pontos: o próprio A, o diametralmente oposto, e os dois pontos que tornam equilátero o triângulo. Se o triângulo for isósceles, de base BC, não equilátero, o lugar geométrico é uma circunferência de centro em A, raio AB, excluindo-se 4 de seus pontos: o próprio B, o diametralmente oposto, e os dois pontos que tornam equilátero o triângulo.
Assim, o lugar geométrico pedido é o da figura:

Ou seja, alternativa correta é a letra C.

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88) O comprimento do segmento determinado pelos pontos de intersecção das parábolas de equações y = x2 – 8x + 3 e y = – 4×2 + 2x + 3 é:

A) $2 \sqrt{37}$ .
B) $3 \sqrt{41}$ .
C) $\frac{7}{2} \sqrt{43}$ .
D) $\frac{5}{2} \sqrt{39}$ .
E) $4 \sqrt{45}$ .

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A alternativa correta é letra A

Para determinar a intersecção deve-se igualar as duas equações e determinar suas raízes.
Para x²– 8x + 3 = – 4x² + 2x + 3 as raízes são: 0 e 2.
Substituindo as raízes em umas das equações encontramos o valor de y nos pontos.
Para x = 0, y = 3 e para x = 2 , y = 9.
Substituindo estes pontos na fórmula da distância entre dois pontos

\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}

obtém-se:

\sqrt{(0 - 2)^{2} + (3 - (- 9))^{2}} = \sqrt{2^{2} + (3 + 9)^{2}} = \sqrt{4 + 144} = \sqrt{148}

e que após fatorada é

2 \sqrt{37}

89) A equação da reta de inclinação α = 120º e que passa pelo ponto P(1, – 4) é:

A) y + 4 = - √3 (x - 1)
B) y - 13 = - 1 (x + 1)
C) y - 6 = - 3 (x - 3)
D) y - 3 = √3 (x + 1)
E) y = x - 3

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A alternativa correta é letra A

Lembrando que a equação da reta é dada pela fórmula:

y - y1 = m(x - x1).

Coeficiente angular:

m=tg (120º)=

- \sqrt{3}

Ponto dado:

P= (x1, y1)= (1, - 4) .

Substituição dos dados:

Y + 4 = - \sqrt{3} (x - 1)

.
Verificando nas alternativas, vemos que a correta então é a letra A.

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90) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação x2100+y225=1, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede π4.

A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:

A) 2 $\sqrt{5}$
B) 2 $\sqrt{10}$
C) 5 $\sqrt{2}$
D) 10 $\sqrt{2}$
E) 5 $\sqrt{10}$

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A alternativa correta é letra B

Se P = (x,y) devemos saber os valores de x e y para que possamos calcular a distância d(O,P) da estrela O ao planeta P. Sendo o ângulo PÔA = 45° (

\frac{π}{4}

), então, o segmento de reta OP está contido na reta x = y. Além disso, o ponto P pertence à elipse em questão. Assim,

x = y \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{25} = 1 \leftrightarrow x = y = 2 \sqrt{5}

Como o ponto O é a origem do plano xOy, então:

d (O, P) = \sqrt{(2 \sqrt{5} - 0)^{2} + (2 \sqrt{5} - 0)^{2}} = 2 \sqrt{10}

Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

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