Início » 3º ano do Ensino Médio » Matemática » Geometria Analítica » Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação x2100+y225=1, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede π4.

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Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação x2100+y225=1, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede π4.

A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:

A) 2 $\sqrt{5}$
B) 2 $\sqrt{10}$
C) 5 $\sqrt{2}$
D) 10 $\sqrt{2}$
E) 5 $\sqrt{10}$

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Resposta:

A alternativa correta é letra B

Se P = (x,y) devemos saber os valores de x e y para que possamos calcular a distância d(O,P) da estrela O ao planeta P. Sendo o ângulo PÔA = 45° (

\frac{π}{4}

), então, o segmento de reta OP está contido na reta x = y. Além disso, o ponto P pertence à elipse em questão. Assim,

x = y \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{25} = 1 \leftrightarrow x = y = 2 \sqrt{5}

Como o ponto O é a origem do plano xOy, então:

d (O, P) = \sqrt{(2 \sqrt{5} - 0)^{2} + (2 \sqrt{5} - 0)^{2}} = 2 \sqrt{10}

Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

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