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Questões Sobre Pirâmides - Matemática - 3º ano do ensino médio

Questão 1

  • A) 2 cm.
  • B) 4 cm.
  • C) 6 cm.
  • D) 8 cm.
  • E) 10 cm.
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A alternativa correta é letra C

Temos que Vsol=4×Vpir3 e Vsol=Vpir+Vpar, em que Vsol  Vpir e Vpar são, respectivamente, o volume do sólido, da pirâmide e do paralelepípedo.

Obtemos então que Vpir+Vpar=4×Vpir3, daí Vpar=4×Vpir3-Vpir=Vpir3.

A medida do segmento SA¯ é também a altura da pirâmide   (h). Então calculando os volumes temos:

2
×4×5=4×5×h3
h=6 cm.

Questão 2

Se a área lateral dessa pirâmide é 4+4√2, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é:
  • A) 8/3
  • B) 16
  • C) 8
  • D) 4/3
  • E) 16/3
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A alternativa correta é letra E

Observando a área lateral dessa pirâmide temos, dois lados que são metade do valor da área de um lado do quadrado e dois que possuem um dos lados do quadrado e o outro a diagonal da face, logo a área lateral total:
Al=2.k22+2.k.k22Al=k2+k224+42=k2+k22k=2

Logo o volume procurado é a subtração do volume total do cubo pelo o da pirâmide, logo:
Vf=Vc-VpVf=k3-k.k3Vf=8-2.23Vf=16/3

Alternativa correta é a Letra E

3) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm³ de volume e 4√3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

  • A) √2 cm
  • B) 3 cm
  • C) 2√2 cm
  • D) √3 cm
  • E) √3/3 cm
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A alternativa correta é letra B

Sabendo do volume da pirâmide podemos calcular a área de sua base:
V=Ab.h3Ab=3.Vh=3.943=934

Já a área de um triangulo equilátero é:
At=l2.34At=Abl=3

Resposta correta é a Letra B

Questão 4

 
  • A) 12
  • B) 13
  • C) 14
  • D) 15
  • E) 16
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A alternativa correta é letra B

Como F está no centro do quadrado então podemos calcular sua distância até qualquer vértice tomando a metade da diagonal, ou seja, AF=22. Como G está na metade da altura temos FG=12. O triângulo AFG é retângulo, e por Pitágoras, obtemos (AG)2=222+122=34, portanto AG=BG=32. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABG temos 12=322+322-2.32.32.cosα. Simplificando obtemos cosα=13.

Questão 5

Se o volume dessa pirâmide é igual a 54 cm3, x é igual a
  • A) 7 cm.
  • B) 6 cm.
  • C) 293cm.
  • D) 363cm.
  • E) 263cm. 
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A alternativa correta é letra B

O volume da pirâmide é dado pela seguinte fórmula:
V=13. Ab.h
Temos:
V = 54 cm3Ab=Aquadrado = x.x = x2h=3x4
Portanto:
54=13. x2 . 3x454=x34x3= 216x=6 cm

Questão 6

O cosseno do ângulo A M with hat on top D equivale a:
  • A) 12
  • B) 13
  • C) 23
  • D) 25
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A alternativa correta é letra B

Na figura, DM e AM são medianas de duas faces da pirâmide dada, que constituem triângulos equiláteros. DG é a altura do tetraedro regular, sendo o ponto G o baricentro do triângulo equilátero ABC. Desse modo, pode-se considerar que a mediana AM mede 3x, o que implica, nesse caso, que MG mede x. Como ABC é congruente com o triângulo BCD, a mediana DM também mede 3x. Assim, observando-se o triângulo retângulo DGM: 
cos s e n o space d e space u m space â n g u l o space equals space fraction numerator c a t e t o space o p o s t o space a o space â n g u l o over denominator h i p o t e n u s a end fraction
cos space A M with overbrace on top D equals fraction numerator x over denominator 3 x end fraction equals 1 third

Questão 7

Ele deseja usar esse objeto como peso para segurar a porta e, para isso, pretende pintá-lo com uma tinta especial. Tem também um frasco de tinta, que é suficiente para pintar 800 cm². A tinta é suficiente para pintar toda a peça? Qual é o volume do bloco?
  • A) Não; 1252 cm³.
  • B) Sim; 1312 cm³.
  • C) Não; 1322 cm³.
  • D) Sim; 1450 cm³.
  • E) Não; 1552 cm³.  
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A alternativa correta é letra E

A área externa do bloco é constituída da área da base maior (AB), área da base menor (Ab) e os 4 lados de trapézios (AT), cuja área é dada pela seguinte fórmula:

AT=(B+b)2hT
onde:
B: Base maior
b: base menor
hT: altura do trapézio

Nesse caso, B = 16 cm, b = 6 cm e hT = 13 cm

A área total (At) é dada por:


At = AB+Ab+4AT   At= (16)2+(6)2+ 4(16+6)2(13)

At=864 cm2

Como só há tinta para pintar 800 cm², não há tinta para pintar o bloco.


Para calcular o volume do bloco (VB), vamos encontrar a altura do bloco (hB). Observando o bloco lateralmente, conseguimos enxergar que a altura do bloco, por Pitágoras, é hB = 12 cm.

O volume de uma pirâmide é um terço do prisma que contém a sua altura e área da base:

VP=13ABhP
onde hP é a altura da pirâmide. 

Realizando por partes, vamos calcular o volume da pirâmide imaginando o bloco como a parte inferior dessa pirâmide e depois extraímos o volume da pirâmide do topo, que foi "arrancada":

A altura da pirâmide maior pode ser calculada a partir da visão lateral que precisamos anteriormente. Existe uma semelhança de triângulos que pode ser observada, e a proporcionalidade entre os lados dos triângulos semelhantes nos dá hP = 96/5 cm. Então:

VB=VP-VP'=13(16)2965 - (6)2965-12VB=1552 cm3


Alternativa E.

8) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano α. O plano β é paralelo a α e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com β e, como vértice, um ponto em α, é igual a

  • A) 3r34
  • B) 53r316
  • C) 33r38
  • D) 73r316
  • E) 3r32
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A alternativa correta é letra E

A altura da pirâmica é igual ao raio da esfera. A área da base é a área de um hexágono regular que é igual a 6 vezes a área de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem r, ou seja, um triângulo de área igual a r234. Portanto, o volume V da pirâmide é igual a V=13.área da base.h=13.6r234.r=r332

Questão 9

O volume do sólido obtido é
  • A) 198.
  • B) 204.
  • C) 208.
  • D) 212.
  • E) 216.
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A alternativa correta é letra A

O volume dessa piramide será de:
Vp=Ab.H3=13.(3)22.3=92

O volume final será de:
V=63-4.Vp=216-4.92=198

Alternativa correta é a Letra A
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10) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são: 

  • A) 40 anos
  • B) 50 anos
  • C) 60 anos
  • D) 90anos
  • E) 150 anos
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A alternativa correta é letra B

Para resolver o problema calcularemos o volume da pirâmide de base quadrada.

Ab=100²=10000m2
V=13Ab.
V=13×10 000×100=333 333,33m3

Em seguida é necessário fazer uma regra de três para achar o tempo, em dias, necessários para construção da pirâmide:

1000m³ ........... 54 dias
333 333,33m³    x dias
x
 = 333 333,33×54100018 000 dias

Com o número de dias basta dividir por 360 para encontrar o número de anos correspondente:

Tempo = 18 000360= 50 anos
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