Questões Sobre Pirâmides - Matemática - 3º ano do ensino médio

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1) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2 cm, AD = 4 cm e AB = 5 cm. A medida do segmento SA¯ que faz com que o volume do sólido seja igual a 43 do volume da pirâmide SEFGH é

A) 2 cm.
B) 4 cm.
C) 6 cm.
D) 8 cm.
E) 10 cm.

A alternativa correta é letra C

Temos que

V_{s o l} = \frac{4 \times V_{p i r}}{3}

V_{s o l} = V_{p i r} + V_{p a r}

, em que

V_{s o l}

V_{p i r}

V_{p a r}

são, respectivamente, o volume do sólido, da pirâmide e do paralelepípedo.

Obtemos então que

V_{p i r} + V_{p a r} = \frac{4 \times V_{p i r}}{3}

, daí

V_{p a r} = \frac{4 \times V_{p i r}}{3} - V_{p i r} = \frac{V_{p i r}}{3}

.

A medida do segmento

\bar{SA}

é também a altura da pirâmide (

h

). Então calculando os volumes temos:

2 \times 4 \times 5 = \frac{(4 \times 5) \times h}{3}

\Rightarrow h = 6 c m

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2) Na figura a seguir, a pirâmide de vértice A tem por base uma das faces do cubo de lado k.

Se a área lateral dessa pirâmide é 4+4√2, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é:

A) 8/3
B) 16
C) 8
D) 4/3
E) 16/3

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A alternativa correta é letra E

Observando a área lateral dessa pirâmide temos, dois lados que são metade do valor da área de um lado do quadrado e dois que possuem um dos lados do quadrado e o outro a diagonal da face, logo a área lateral total:

A_{l} = 2 . \frac{k^{2}}{2} + 2 . k . \frac{k \sqrt{2}}{2} A_{l} = k^{2} + k^{2} \sqrt{2} 4 + 4 \sqrt{2} = k^{2} + k^{2} \sqrt{2} k = 2

Logo o volume procurado é a subtração do volume total do cubo pelo o da pirâmide, logo:

V_{f} = V_{c} - V_{p} V_{f} = k^{3} - \frac{k . k}{3} V_{f} = 8 - \frac{2.2}{3} V_{f} = 16 / 3

Alternativa correta é a Letra E

3) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm³ de volume e 4√3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

A) √2 cm
B) 3 cm
C) 2√2 cm
D) √3 cm
E) √3/3 cm

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A alternativa correta é letra B

Sabendo do volume da pirâmide podemos calcular a área de sua base:

V = \frac{A_{b} . h}{3} A_{b} = \frac{3 . V}{h} = \frac{3.9}{4 \sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}

Já a área de um triangulo equilátero é:

A_{t} = l^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} A_{t} = A_{b} l = 3

Resposta correta é a Letra B

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4) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura EF¯ e α a medida do ângulo AG^B, então cos α vale

A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{1}{4}$
D) $\frac{1}{5}$
E) $\frac{1}{6}$

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A alternativa correta é letra B

Como F está no centro do quadrado então podemos calcular sua distância até qualquer vértice tomando a metade da diagonal, ou seja,

A F = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Como G está na metade da altura temos

F G = \frac{1}{2} .

O triângulo AFG é retângulo, e por Pitágoras, obtemos

(A G)^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}

, portanto

A G = B G = \frac{\sqrt{3}}{2} .

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABG temos

1^{2} = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 2 . (\frac{\sqrt{3}}{2}) . (\frac{\sqrt{3}}{2}) . \cos α

. Simplificando obtemos

\cos α = \frac{1}{3} .

5) A figura representa uma pirâmide com base quadrada ABCD de lado x, e altura AE¯ de medida3×4 .

Se o volume dessa pirâmide é igual a 54 cm³, x é igual a

A) 7 cm.
B) 6 cm.
C) $2 \sqrt[3]{9}$ cm.
D) $3 \sqrt[3]{6}$ cm.
E) $2 \sqrt[3]{6}$ cm.

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A alternativa correta é letra B

O volume da pirâmide é dado pela seguinte fórmula:

V = \frac{1}{3} . A_{b} . h

Temos:

V = 54 c m^{3} A_{b} = A_{q u a d r a d o} = x . x = x^{2} h = \frac{3 x}{4}

^{Portanto:

$54 = \frac{1}{3} . x^{2} . \frac{3 x}{4} 54 = \frac{x^{3}}{4} \Leftrightarrow x^{3} = 216 x = 6 c m$}

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6) Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M.

O cosseno do ângulo

A M with hat on top D

equivale a:

A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{2}{3}$
D) $\frac{2}{5}$

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A alternativa correta é letra B

Na figura, DM e AM são medianas de duas faces da pirâmide dada, que constituem triângulos equiláteros. DG é a altura do tetraedro regular, sendo o ponto G o baricentro do triângulo equilátero ABC. Desse modo, pode-se considerar que a mediana AM mede 3x, o que implica, nesse caso, que MG mede x. Como ABC é congruente com o triângulo BCD, a mediana DM também mede 3x. Assim, observando-se o triângulo retângulo DGM:

cos s e n o space d e space u m space â n g u l o space equals space fraction numerator c a t e t o space o p o s t o space a o space â n g u l o over denominator h i p o t e n u s a end fraction cos space A M with overbrace on top D equals fraction numerator x over denominator 3 x end fraction equals 1 third

7) Um garoto encontrou um bloco de concreto com o formato de um tronco de pirâmide regular, com as seguintes dimensões:

Ele deseja usar esse objeto como peso para segurar a porta e, para isso, pretende pintá-lo com uma tinta especial. Tem também um frasco de tinta, que é suficiente para pintar 800 cm². A tinta é suficiente para pintar toda a peça? Qual é o volume do bloco?

A) Não; 1252 cm³.
B) Sim; 1312 cm³.
C) Não; 1322 cm³.
D) Sim; 1450 cm³.
E) Não; 1552 cm³.

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A alternativa correta é letra E

A área externa do bloco é constituída da área da base maior (A_B), área da base menor (A_b) e os 4 lados de trapézios (A_T), cuja área é dada pela seguinte fórmula:

$A_{T} = \frac{(B + b)}{2} h_{T}$
onde:
B: Base maior
b: base menor
hT: altura do trapézio

Nesse caso, B = 16 cm, b = 6 cm e h_T = 13 cm

A área total (A_t) é dada por:

$A_{t} = A_{B} + A_{b} + 4 A_{T} \to A_{t} = (16)^{2} + (6)^{2} + 4 \frac{(16 + 6)}{2} (13)$

$A_{t} = 864 c m^{2}$

Como só há tinta para pintar 800 cm², não há tinta para pintar o bloco.

Para calcular o volume do bloco (V_B), vamos encontrar a altura do bloco (h_B). Observando o bloco lateralmente, conseguimos enxergar que a altura do bloco, por Pitágoras, é h_B = 12 cm.

O volume de uma pirâmide é um terço do prisma que contém a sua altura e área da base:

$V_{P} = \frac{1}{3} A_{B} h_{P}$
onde h_P é a altura da pirâmide.

Realizando por partes, vamos calcular o volume da pirâmide imaginando o bloco como a parte inferior dessa pirâmide e depois extraímos o volume da pirâmide do topo, que foi "arrancada":

A altura da pirâmide maior pode ser calculada a partir da visão lateral que precisamos anteriormente. Existe uma semelhança de triângulos que pode ser observada, e a proporcionalidade entre os lados dos triângulos semelhantes nos dá h_P = 96/5 cm. Então:

$V_{B} = V_{P} - V_{P}^{'} = \frac{1}{3} [(16)^{2} (\frac{96}{5}) - (6)^{2} (\frac{96}{5} - 12)] V_{B} = 1552 c m^{3}$

Alternativa E.

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8) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano α. O plano β é paralelo a α e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com β e, como vértice, um ponto em α, é igual a

A) $\frac{\sqrt{3} r^{3}}{4}$
B) $\frac{5 \sqrt{3} r^{3}}{16}$
C) $\frac{3 \sqrt{3} r^{3}}{8}$
D) $\frac{7 \sqrt{3} r^{3}}{16}$
E) $\frac{\sqrt{3} r^{3}}{2}$

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A alternativa correta é letra E

A altura da pirâmica é igual ao raio da esfera. A área da base é a área de um hexágono regular que é igual a 6 vezes a área de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem r, ou seja, um triângulo de área igual a

\frac{r^{2} \sqrt{3}}{4}

. Portanto, o volume V da pirâmide é igual a

V = \frac{1}{3} . á r e a d a b a s e . h = \frac{1}{3} . \frac{6 r^{2} \sqrt{3}}{4} . r

= \frac{r^{3} \sqrt{3}}{2}

9) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1. O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, a seguir.

O volume do sólido obtido é

A) 198.
B) 204.
C) 208.
D) 212.
E) 216.

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A alternativa correta é letra A

O volume dessa piramide será de:

V_{p} = \frac{A_{b} . H}{3} = \frac{1}{3} . \frac{(3)^{2}}{2} . 3 = \frac{9}{2}

O volume final será de:

V = 6^{3} - 4 . V_{p} = 216 - \frac{4.9}{2} = 198

Alternativa correta é a Letra A

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10) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são:

1º – Sua base é um quadrado com 100m de lado.

2º – Sua altura é de 100 m.

Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000m³, os escravos, utilizados como mão de obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medindo em anos de 360 dias, foi de:

A) 40 anos
B) 50 anos
C) 60 anos
D) 90anos
E) 150 anos

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A alternativa correta é letra B

Para resolver o problema calcularemos o volume da pirâmide de base quadrada.

A_{b} = 100 ² = 10000 {m2}^{} V = \frac{1}{3} A_{b} . h V = \frac{1}{3} \times 10 000 \times 100 = 333 333, 33 m^{3}

Em seguida é necessário fazer uma regra de três para achar o tempo, em dias, necessários para construção da pirâmide:

1000 m ³ ........... \dots \dots \dots \dots \dots \dots 54 dias 333 333, 33 m ³ \dots \dots \dots \dots \dots \dots x dias x = \frac{333 333, 33 \times 54}{1000} ≅ 18 000 dias

Com o número de dias basta dividir por 360 para encontrar o número de anos correspondente:

T e m p o = \frac{18 000}{360} = 50 a n o s

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