Questões Sobre Pirâmides - Matemática - 3º ano do ensino médio

Questão 1

A) 2 cm.
B) 4 cm.
C) 6 cm.
D) 8 cm.
E) 10 cm.

A alternativa correta é letra C

Temos que

V_{s o l} = \frac{4 \times V_{p i r}}{3}

V_{s o l} = V_{p i r} + V_{p a r}

, em que

V_{s o l}

V_{p i r}

V_{p a r}

são, respectivamente, o volume do sólido, da pirâmide e do paralelepípedo.

Obtemos então que

V_{p i r} + V_{p a r} = \frac{4 \times V_{p i r}}{3}

, daí

V_{p a r} = \frac{4 \times V_{p i r}}{3} - V_{p i r} = \frac{V_{p i r}}{3}

.

A medida do segmento

\bar{SA}

é também a altura da pirâmide (

h

). Então calculando os volumes temos:

2 \times 4 \times 5 = \frac{(4 \times 5) \times h}{3}

\Rightarrow h = 6 c m

Questão 2

Se a área lateral dessa pirâmide é 4+4√2, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é:

A) 8/3
B) 16
C) 8
D) 4/3
E) 16/3

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A alternativa correta é letra E

Observando a área lateral dessa pirâmide temos, dois lados que são metade do valor da área de um lado do quadrado e dois que possuem um dos lados do quadrado e o outro a diagonal da face, logo a área lateral total:

A_{l} = 2 . \frac{k^{2}}{2} + 2 . k . \frac{k \sqrt{2}}{2} A_{l} = k^{2} + k^{2} \sqrt{2} 4 + 4 \sqrt{2} = k^{2} + k^{2} \sqrt{2} k = 2

Logo o volume procurado é a subtração do volume total do cubo pelo o da pirâmide, logo:

V_{f} = V_{c} - V_{p} V_{f} = k^{3} - \frac{k . k}{3} V_{f} = 8 - \frac{2.2}{3} V_{f} = 16 / 3

Alternativa correta é a Letra E

3) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm³ de volume e 4√3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

A) √2 cm
B) 3 cm
C) 2√2 cm
D) √3 cm
E) √3/3 cm

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A alternativa correta é letra B

Sabendo do volume da pirâmide podemos calcular a área de sua base:

V = \frac{A_{b} . h}{3} A_{b} = \frac{3 . V}{h} = \frac{3.9}{4 \sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}

Já a área de um triangulo equilátero é:

A_{t} = l^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} A_{t} = A_{b} l = 3

Resposta correta é a Letra B

Questão 4

A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{1}{4}$
D) $\frac{1}{5}$
E) $\frac{1}{6}$

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A alternativa correta é letra B

Como F está no centro do quadrado então podemos calcular sua distância até qualquer vértice tomando a metade da diagonal, ou seja,

A F = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Como G está na metade da altura temos

F G = \frac{1}{2} .

O triângulo AFG é retângulo, e por Pitágoras, obtemos

(A G)^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}

, portanto

A G = B G = \frac{\sqrt{3}}{2} .

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABG temos

1^{2} = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 2 . (\frac{\sqrt{3}}{2}) . (\frac{\sqrt{3}}{2}) . \cos α

. Simplificando obtemos

\cos α = \frac{1}{3} .

Questão 5

Se o volume dessa pirâmide é igual a 54 cm³, x é igual a

A) 7 cm.
B) 6 cm.
C) $2 \sqrt[3]{9}$ cm.
D) $3 \sqrt[3]{6}$ cm.
E) $2 \sqrt[3]{6}$ cm.

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A alternativa correta é letra B

O volume da pirâmide é dado pela seguinte fórmula:

V = \frac{1}{3} . A_{b} . h

Temos:

V = 54 c m^{3} A_{b} = A_{q u a d r a d o} = x . x = x^{2} h = \frac{3 x}{4}

^{Portanto:

$54 = \frac{1}{3} . x^{2} . \frac{3 x}{4} 54 = \frac{x^{3}}{4} \Leftrightarrow x^{3} = 216 x = 6 c m$}

Questão 6

O cosseno do ângulo

A M with hat on top D

equivale a:

A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{2}{3}$
D) $\frac{2}{5}$

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A alternativa correta é letra B

Na figura, DM e AM são medianas de duas faces da pirâmide dada, que constituem triângulos equiláteros. DG é a altura do tetraedro regular, sendo o ponto G o baricentro do triângulo equilátero ABC. Desse modo, pode-se considerar que a mediana AM mede 3x, o que implica, nesse caso, que MG mede x. Como ABC é congruente com o triângulo BCD, a mediana DM também mede 3x. Assim, observando-se o triângulo retângulo DGM:

cos s e n o space d e space u m space â n g u l o space equals space fraction numerator c a t e t o space o p o s t o space a o space â n g u l o over denominator h i p o t e n u s a end fraction cos space A M with overbrace on top D equals fraction numerator x over denominator 3 x end fraction equals 1 third

Questão 7

Ele deseja usar esse objeto como peso para segurar a porta e, para isso, pretende pintá-lo com uma tinta especial. Tem também um frasco de tinta, que é suficiente para pintar 800 cm². A tinta é suficiente para pintar toda a peça? Qual é o volume do bloco?

A) Não; 1252 cm³.
B) Sim; 1312 cm³.
C) Não; 1322 cm³.
D) Sim; 1450 cm³.
E) Não; 1552 cm³.

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A alternativa correta é letra E

A área externa do bloco é constituída da área da base maior (A_B), área da base menor (A_b) e os 4 lados de trapézios (A_T), cuja área é dada pela seguinte fórmula:

$A_{T} = \frac{(B + b)}{2} h_{T}$
onde:
B: Base maior
b: base menor
hT: altura do trapézio

Nesse caso, B = 16 cm, b = 6 cm e h_T = 13 cm

A área total (A_t) é dada por:

$A_{t} = A_{B} + A_{b} + 4 A_{T} \to A_{t} = (16)^{2} + (6)^{2} + 4 \frac{(16 + 6)}{2} (13)$

$A_{t} = 864 c m^{2}$

Como só há tinta para pintar 800 cm², não há tinta para pintar o bloco.

Para calcular o volume do bloco (V_B), vamos encontrar a altura do bloco (h_B). Observando o bloco lateralmente, conseguimos enxergar que a altura do bloco, por Pitágoras, é h_B = 12 cm.

O volume de uma pirâmide é um terço do prisma que contém a sua altura e área da base:

$V_{P} = \frac{1}{3} A_{B} h_{P}$
onde h_P é a altura da pirâmide.

Realizando por partes, vamos calcular o volume da pirâmide imaginando o bloco como a parte inferior dessa pirâmide e depois extraímos o volume da pirâmide do topo, que foi "arrancada":

A altura da pirâmide maior pode ser calculada a partir da visão lateral que precisamos anteriormente. Existe uma semelhança de triângulos que pode ser observada, e a proporcionalidade entre os lados dos triângulos semelhantes nos dá h_P = 96/5 cm. Então:

$V_{B} = V_{P} - V_{P}^{'} = \frac{1}{3} [(16)^{2} (\frac{96}{5}) - (6)^{2} (\frac{96}{5} - 12)] V_{B} = 1552 c m^{3}$

Alternativa E.

8) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano α. O plano β é paralelo a α e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com β e, como vértice, um ponto em α, é igual a

A) $\frac{\sqrt{3} r^{3}}{4}$
B) $\frac{5 \sqrt{3} r^{3}}{16}$
C) $\frac{3 \sqrt{3} r^{3}}{8}$
D) $\frac{7 \sqrt{3} r^{3}}{16}$
E) $\frac{\sqrt{3} r^{3}}{2}$

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A alternativa correta é letra E

A altura da pirâmica é igual ao raio da esfera. A área da base é a área de um hexágono regular que é igual a 6 vezes a área de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem r, ou seja, um triângulo de área igual a

\frac{r^{2} \sqrt{3}}{4}

. Portanto, o volume V da pirâmide é igual a

V = \frac{1}{3} . á r e a d a b a s e . h = \frac{1}{3} . \frac{6 r^{2} \sqrt{3}}{4} . r

= \frac{r^{3} \sqrt{3}}{2}

Questão 9

O volume do sólido obtido é

A) 198.
B) 204.
C) 208.
D) 212.
E) 216.

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A alternativa correta é letra A

O volume dessa piramide será de:

V_{p} = \frac{A_{b} . H}{3} = \frac{1}{3} . \frac{(3)^{2}}{2} . 3 = \frac{9}{2}

O volume final será de:

V = 6^{3} - 4 . V_{p} = 216 - \frac{4.9}{2} = 198

Alternativa correta é a Letra A

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10) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são:

A) 40 anos
B) 50 anos
C) 60 anos
D) 90anos
E) 150 anos

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A alternativa correta é letra B

Para resolver o problema calcularemos o volume da pirâmide de base quadrada.

A_{b} = 100 ² = 10000 {m2}^{} V = \frac{1}{3} A_{b} . h V = \frac{1}{3} \times 10 000 \times 100 = 333 333, 33 m^{3}

Em seguida é necessário fazer uma regra de três para achar o tempo, em dias, necessários para construção da pirâmide:

1000 m ³ ........... \dots \dots \dots \dots \dots \dots 54 dias 333 333, 33 m ³ \dots \dots \dots \dots \dots \dots x dias x = \frac{333 333, 33 \times 54}{1000} ≅ 18 000 dias

Com o número de dias basta dividir por 360 para encontrar o número de anos correspondente:

T e m p o = \frac{18 000}{360} = 50 a n o s

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