Questões Sobre Pirâmides - Matemática - 3º ano do ensino médio

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11) Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo. As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são:

A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60

A alternativa correta é letra A

O volume (V) da pirâmide, em metros cúbicos, é determinado por:

V = \frac{A_{base} \times altura}{3}

A base da pirâmide é um quadrado, então:

A_{base} = 220 \times 220 = 48.400 m^{2}

Assim, o volume é:

V = \frac{48.400 \times 140}{3} = \frac{6.776.000}{3} = 2, 26 \times 10^{6} m^{3}

Se para construir 1,88 × 10⁴ m³ foram gastos 60 dias, então, para construir a pirâmide toda, foi gasta uma quantidade x de dias, de modo que:

x = \frac{2, 26 \times 10^{6} \times 60}{1, 88 \times 10^{4}} = \frac{2, 26}{1, 88} \times 60 \times 10^{2}

x = 1, 2 \times 6.000 = 7.200

Convertendo 7.200 dias em anos tem-se o equivalente a 20 anos. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

12) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2√3 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:

A) 24 $\sqrt{3}$
B) 36 $\sqrt{3}$
C) 48 $\sqrt{3}$
D) 72 $\sqrt{3}$
E) 144 $\sqrt{3}$

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A alternativa correta é letra C

O volume da pirâmide é dado por

V = \frac{b . h}{3}

, onde b é a área da base e h é a altura.

Para calcular o volume precisamos determinar a área da base, que no caso é a área de um hexágono regular, tal área é dada por

A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}

, onde a é a aresta da base.

Substituindo os valores obtemos:

V = \frac{3 \sqrt{3} . 12.8}{2.3} = 48 \sqrt{3}

cm³.

13) Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 10 m de apótema. O seu volume é:

A) 1150 m³.
B) 298 m³.
C) 96 m³.
D) 384 m³.
E) 48 m³.

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A alternativa correta é letra D

A ilustração a seguir nos da uma visão lateral da pirâmide:

Por Pitágoras, descobrimos o valor de x:

(10) ² = (8) ² + x ² \Rightarrow x = 6 m

Portanto, o lado da base é (2x) = 12 m

A partir daí temos todos os dados para encontrar o volume da pirâmide:

V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} A_{b} h o n d e \{\begin{cases} A_{b} : á r e a d a b a s e \\ h : a l t u r a \end{cases}

Substituindo os valores:

V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} (12) ² (8) V_{p i r â m i d e} = 384 m ³

Alternativa D.

14) (Puccamp – SP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2√3 cm. O volume dessa pirâmide em cm³ é:

A) 24 $\sqrt{3}$
B) 36 $\sqrt{3}$
C) 72 $\sqrt{3}$
D) 48 $\sqrt{3}$
E) 144 $\sqrt{3}$

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A alternativa correta é letra D

Paca calcular o volume de uma pirâmide precisamos, inicialmente, calcular a área de sua base. Como sabemos que a base é um hexágono com aresta de base (a) de 2√3 cm podemos dizer que a área da figura base é:

A_{h e x á g o n o} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{2} A_{h e x á g o n o} = \frac{3 (2 \sqrt{3})^{2} \sqrt{3}}{2} = 18 \sqrt{3}

Com o valor da área da base basta utilizar a fórmula para volume de pirâmide.

V_{p o r â m i d e} = \frac{1}{3} A_{b} . h V_{p o r â m i d e} = \frac{1}{3} (18 \sqrt{3}) . 8 = 48 \sqrt{3} c m^{3}

Repare que não foi necessário mudar as unidades de medida uma vez que a resposta está em cm³.
ALTERNATIVA: D

15) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais. Considere as seguintes medidas da pirâmide: • altura = 9 cm; • aresta da base = 6 cm; • volume total = 108 cm3.

A) 26.
B) 24.
C) 28.
D) 30.

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A alternativa correta é letra C

Os planos dividem não só as arestas em três partes iguais, mas também a altura. Observe:

As três pirâmides são semelhantes, logo é possível afirmar que a razão entre os volumes é igual ao cubo da razão entre as respectivas alturas;

Resposta pesquisada na internet: Fonte UERJ.

16) Em uma pirâmide com 12 cm de altura, tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:

A) 240 cm²
B) 260 cm²
C) 340 cm²
D) 400 cm²
E) 20√119 cm²

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A alternativa correta é letra B

Calculando o apótema de uma das laterais temos:

a p^{2} = h^{2} + (l / 2)^{2} a p^{2} = 12^{2} + (10 / 2)^{2} a p^{2} = 169 a p = 13

Já a área de uma dessas faces será:

A_{f} = \frac{b . h}{2} A_{f} = \frac{10 . a p}{2} = 5.13 = 65

A área lateral total será:

A_{l} = 4 . A_{f} = 4.65 = 260

Letra B

17) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m³, então, o volume do cubo, em m³, é igual a:

A) 9.
B) 12.
C) 15.
D) 18.
E) 21.

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A alternativa correta é letra D

O volume de uma pirâmide é calculado da seguinte maneira:

V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} A_{b} h o n d e \{\begin{cases} A_{b} : á r e a d a b a s e \\ h : a l t u r a \end{cases}

O volume do cubo é calculado assim:

V_{c u b o} = A_{b} h

Como a área da base é a mesma e a altura também, podemos escrever:

V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} V_{c u b o} O u s e j a, V_{c u b o} = 3 V_{p i r â m i d e} = 3 (6 m ³) E n t ã o, V_{c u b o} = 18 m ³

Alternativa D.

18) Uma barraca em forma de pirâmide de base quadrada de 8 m de lado esta coberta com 4 lonas triangulares de 5 m de altura(altura da face lateral). Quantos litros de ar cabem na barraca?

A) 16000.
B) 64000.
C) 32000.
D) 8000.
E) 4000.

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A alternativa correta é letra B

A imagem a seguir ilustra a vista lateral dessa pirâmide. A partir dela, podemos calcular a altura:

Por Pitágoras:

(5) ² = (4) ² + h ² \Rightarrow h = 3

O volume da pirâmide é:

V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} A_{b} h = \frac{1}{3} (8) ² (3) V_{p i r â m i d e} = 64 m ³

Como a resposta está em litros (dm³), fazendo-se uma regra de três encontramos o valor esperado:

1 m \dots \dots \dots \dots 10 d m 1 m ³ \dots \dots \dots \dots 10 ³ d m ³ 64 m ³ \dots \dots \dots V_{p i r â m i d e} P o r \tan t o : V_{p i r â m i d e} = 64000 l i t r o s

Alternativa B.

19) Os papiros mostram que os egípcios antigos possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída por volta de 2560 a.C., tem uma altura aproximada de 140 metros e sua base é um quadrado com lados medindo aproximadamente 230 metros.

A) 1,2
B) 2,5
C) 5
D) 7,5
E) 15

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A alternativa correta é letra B

Sabe se que a fórmula para calcular o volume de uma pirâmide é:

V_{pirâmide} = \frac{1}{3} A_{b} . h

Onde Ab é a área da base da pirâmide e h é a altura. O primeiro passo é calcular a área da base, ou seja, a área de um quadrado.

A_{b} = 230^{2} = 52 900

Em seguida calculamos o volume da pirâmide:

V_{pirâmide} = \frac{1}{3} \times 52 900 \times 140 V_{pirâmide} = 2 468 666, 67 m^{3} ou 2, 5 \times 10^{6} m^{3}

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