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Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M.
O cosseno do ângulo ![A M with hat on top D]()
equivale a:
- A)
- B)
- C)
- D)
Resposta:
A alternativa correta é letra B
Na figura, DM e AM são medianas de duas faces da pirâmide dada, que constituem triângulos equiláteros. DG é a altura do tetraedro regular, sendo o ponto G o baricentro do triângulo equilátero ABC. Desse modo, pode-se considerar que a mediana AM mede 3x, o que implica, nesse caso, que MG mede x. Como ABC é congruente com o triângulo BCD, a mediana DM também mede 3x. Assim, observando-se o triângulo retângulo DGM:
![cos s e n o space d e space u m space â n g u l o space equals space fraction numerator c a t e t o space o p o s t o space a o space â n g u l o over denominator h i p o t e n u s a end fraction
cos space A M with overbrace on top D equals fraction numerator x over denominator 3 x end fraction equals 1 third]()
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