Questões Sobre Prismas - Matemática - 3º ano do ensino médio

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1) A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros.

A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale:

A) $\frac{\sqrt{5}}{6} a .$
B) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} a .$
C) $\frac{\sqrt{5}}{5} a .$
D) $\frac{\sqrt{6}}{5} a .$
E) $\frac{\sqrt{30}}{6} a .$

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A alternativa correta é letra E

No cubo, podemos ver que em ΔEHA temos :
AH²= a² + (2a)²

AH² = 5a² portanto AH = a

\sqrt[]{5}

.

E em ΔBDH temos:

HB² = BD² + DH²
Note que BD =

\sqrt[]{2}

a
pois é a diagonal do quadrado da base.

HB²= 6a²

HB = a

\sqrt{6}

.

Chamando agora de P o ponto que liga a A um segmento de reta formando um ângulo de 90º em relação a reta suporte BD.Ou seja,AP é a distância pedida.

Pela relações do triângulo retângulo, temos:

AP.BH=AH.AB

logo AP=

\frac{\sqrt{30}}{6} a .

Portanto a alternativa correta é a letra E.

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2) Uma pirâmide quadrangular regular de base ABCD e vértice P tem volume igual a 363 cm³. Considerando que a base da pirâmide tem centro O e que M é o ponto médio da aresta BC, se a medida do ângulo PMO é 60°, então a medida da aresta da base dessa pirâmide é, em centímetros, igual a

A) $\sqrt[3]{216}$
B) $\sqrt[3]{324}$
C) $\sqrt[3]{432}$
D) $\sqrt[3]{564}$
E) $\sqrt[3]{648}$

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A alternativa correta é letra A

Sejam x a medida da aresta da base e y a medida da

altura da pirâmide, em centímetros.

No triângulo MOP, temos que:

\frac{y}{\frac{x}{2}} = t g 60 º \Rightarrow \frac{y}{\frac{x}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{x \sqrt{3}}{2}

O volume da pirâmide é dado pela seguinte forma

\frac{área da base \times altura}{3}

ou seja:

\frac{x^{2} y}{3} m a s y = \frac{x \sqrt{3}}{2} e n t ã o \frac{x^{2} \frac{x \sqrt{3}}{2}}{3} \Rightarrow \frac{x^{3} \sqrt{3}}{6} = 36 \sqrt{3} x^{3} = 216 \Rightarrow x = \sqrt[3]{216}

Alternativa: A

3) Um cubo com aresta de medida igual a x centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1. A figura 2 indica a vista superior desse prisma, sendo que AEB é um triângulo equilátero.

Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a 2(4 –3)cm³, x é igual a

A) 2.
B) $\frac{7}{2}$
C) 3.
D) $\frac{5}{2}$
E) $\frac{3}{2}$

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A alternativa correta é letra A

V_{inicial} = a^{3} V_{prisma triangular} = A_{b} . h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} V_{inicial} - V_{prisma triangular} = V_{prisma figura 1} a^{3} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} = 2 (4 - \sqrt{3}) a^{3} (1 - \frac{\sqrt{3}}{4}) = 2 (4 - \sqrt{3}) a^{3} (\frac{4 - \sqrt{3}}{4}) = 2 (4 - \sqrt{3}) a^{3} = \frac{2 (4 - \sqrt{3})}{\frac{4 - \sqrt{3}}{4}} a^{3} = 2 (4 - \sqrt{3}) . \frac{4}{4 - \sqrt{3}} a^{3} = 8 a = \sqrt[3]{8} a = 2

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4) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.

Em relação ao prisma, considere:

-cada um dos ângulos A^, B^, C^ e D^ da base superior mede 120°;

-as arestas AB¯, BC¯ e CD¯ medem 10 cm cada.

Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m² e que 3=1,73.

Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a:

-cada um dos ângulos A^, B^, C^ e D^ da base superior mede 120°;

-as arestas AB¯, BC¯ e CD¯ medem 10 cm cada.

Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m² e que 3=1,73.

Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a:

A) 0,50
B) 0,95
C) 1,50
D) 1,85

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A alternativa correta é letra B

Desenhando a figura do prisma pode-se dividir a mesma em 7 triângulos equiláteros congruentes:

Sabe-se que a área total de um prisma é determinada pela soma da área lateral com duas vezes a área da base do prisma:

A_{t} = A_{l} + 2 . A_{b}

Como a base é um triângulo equilátero de 10 cm de lado:

A_{b} = \frac{l^{2} \sqrt{3}}{4} A_{b} = \frac{{(10 c m)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} c m^{2}

A área lateral mede o perímetro da base multiplicado pela altura do prisma. Pode-se observar que o perímetro da figura é de 70 cm, logo:

A_{l} = 70 \times 5 = 350 {cm}^{2}

Multiplicando-se a área da base pelos 7 triângulos e somando as áreas tem-se que:

A_{t} = 350 + (7 \times 2 \times 25 \sqrt{3}) = 955, 5 {cm}^{2} o u 0, 09555 m^{2}

O valor em reais será:

R $ = 0, 09555 \times 10, 00 = 0, 95

5) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2 cm2, 3 cm2 e 4 cm2. O volume desse paralelepípedo é igual a

A) $2 square root of 3 space c m cubed$
B) $2 square root of 6 space c m cubed$
C) 24 cm³
D) 12 cm³

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A alternativa correta é letra B

Sendo a, b e c as arestas do paralelepípedo e supondo que ele é reto retângulo:

ab=4, ac=3, bc=2.

Logo,

a²b²c²=24,

isto é,

abc=2

square root of 6

Portanto, o volume é 2

square root of 6

cm³.

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6) Um recipiente, no qual será acondicionado um líquido de densidade 0,9 g/cm3, tem o formato geométrico de um prisma reto quadrangular. Sabe-se que • a base do prisma é um quadrado de lado 10 cm; • a massa do líquido a ser acondicionado no recipiente é 1,8 kg e • o líquido ocupa 80% da capacidade do recipiente. Nessas condições, a altura do recipiente, em centímetros, é

A) 12
B) 15
C) 19
D) 20
E) 25

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A alternativa correta é letra E

A partir da densidade do líquido e da massa colocada no recipiente calcularemos o volume preenchido:

d = \frac{m}{V} \Rightarrow V = \frac{m}{d} = \frac{1800}{0, 9} \Rightarrow V = 2000 c m^{3}

O volume preenchido é 80% do volume do prisma. Portanto:

V = 0, 8 V_{p r i s m a} = 0, 8 A_{b} h 2000 = 0, 8 (10)^{2} h \Rightarrow h = \frac{2000}{80} h = 25 c m

Alternativa E.

7) Um cubo tem área total igual a 72 m². Sua diagonal vale:

A) 2√6 m.
B) √6 m.
C) √12 m.
D) 2√24 m.
E) 6 m.

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A alternativa correta é letra E

A área total de um cubo é relativa à área das suas 6 faces. Cada face tem área l²:

A_{t} = 6 l^{2} = 72 m^{2} \Rightarrow l^{2} = 12 m^{2} \Rightarrow l = 2 \sqrt{3} m

Depois de calculado o lado do cubo, vamos calcular a diagonal da face do cubo por Pitágoras:

D_{f a c e}^{2} = l^{2} + l^{2} = 2 l^{2} = 2 {(2 \sqrt{3})}^{2} = 24 D_{f a c e} = 2 \sqrt{6} m

Novamente utilizando Pitágoras, vamos estabelecer o valor da diagonal principal (diagonal do cubo):

D_{c u b o}^{2} = D_{f a c e}^{2} + l^{2} D_{c u b o}^{2} = {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2} = 24 + 12 = 36 D_{c u b o} = 6 m

Alternativa E.

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8) Uma caixa d’água em forma de prisma reto tem aresta lateral igual a 6 m e por base um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m. O volume dessa caixa, em litros é:

A) 42 000.
B) 70 000.
C) 200 000.
D) 210 000.
E) 420 000.

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A alternativa correta é letra D

Para calcular o volume do prisma fazemos:

V_{p r i s m a} = A_{b} h

onde A_b é a área da base e h a altura do prisma.

A área da base é a área do losango, que é dada por:

A_{b} = A_{l o s a n g o} = \frac{D . d}{2} o n d e \{\begin{cases} D : d i a g o n a l m a i o r \\ d : d i a g o n a l m e n o r \end{cases}

Portanto, o volume do prisma é:

V_{p r i s m a} = (\frac{D . d}{2}) h = (\frac{70.100}{2}) 60 V_{p r i s m a} = 210 000 l i t r o s

Alternativa D.

Obs.: Utilizei as medidas em decímetros, pois então o resultado já sai em litros. Além disso, verifiquei um erro na questão da prova, onde diz 6 dm no lugar de 6 m (o que seria mais plausível para o tamanho de uma caixa d'água). Realizei essa mudança nos cálculos e encontrei a resposta do gabarito.

9) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de:

A) 42%
B) 36%
C) 32%
D) 26%
E) 28%

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A alternativa correta é letra D

Seja A a área total do paralelepípedo reto-retângulo que é dada por

A = 2 × (a × b + a × c + b × c)

Neste caso a = 4 cm, b = 3 cm e c = 1 cm, logo

A = 38 cm²

A diagonal da base (d) do paralelepípedo reto-retângulo é calculado pelo teorema de Pitágoras

d =

\sqrt{4^{2} + 3^{2}}

= 5 cm

Seja B a área total de ambos os prismas, B é dado como a soma da área A com a área da face do corte de ambos prismas, ou seja

B = A + 2 × (d × c) = 48 cm²

Agora, calculando a razão de B e A, temos que:

B/A = 1,26

Ou seja, houve um aumento de 26%. Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

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10) Um fabricante produz embalagens de volume igual a 8 litros no formato de um prisma reto com base quadrada de aresta a e altura h . Visando à redução de custos, a área superficial da embalagem é a menor possível. Nesse caso, o valor de a corresponde, em decímetros, à raiz real da seguinte equação:

As medidas da embalagem, em decímetros, são:

A) a = 1 ; h = 2
B) a = 1 ; h = 4
C) a = 2 ; h = 4
D) a = 2 ; h = 2

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A alternativa correta é letra D

As raízes da equação

4 a - \frac{32}{a^{2}} = 0

são a=2 ou a=0. Como a aresta não pode ter medida igual a 0, fica claro que a=2 decímetros.
Sabemos que a fórmula para calcular o volume prisma reto com base quadrada é dada por

V = A_{b} \cdot h

, onde A_brepresenta a área da base do prisma. Como o prisma em questão tem base quadrada,

A_{b} = 2^{2} = 4

decímetros quadrados. Além disso, 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico. Portanto, o volume do prisma é

V = 8 l i t r o s = 8 d m^{3} .

Logo,

8 = 4 \cdot h \Rightarrow h = 2

decímetros.
Alternativa D.

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