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Em uma prova internacional de ciclismo, dois dos ciclistas, um francês e, separado por uma distância de 15 m à sua frente, um inglês, se movimentam com velocidades iguais e constantes de módulo 22 m/s. Considere agora que o representante brasileiro na prova, ao ultrapassar o ciclista francês, possui uma velocidade constante de módulo 24 m/s e inicia uma aceleração constante de módulo 0,4 m/s2, com o objetivo de ultrapassar o ciclista inglês e ganhar a prova. No instante em que ele ultrapassa o ciclista francês, faltam ainda 200 m para a linha de chegada. Com base nesses dados e admitindo que o ciclista inglês, ao ser ultrapassado pelo brasileiro, mantenha constantes as características do seu movimento, assinale a alternativa correta para o tempo gasto pelo ciclista brasileiro para ultrapassar o ciclista inglês e ganhar a corrida.
- A) 1 s.
- B) 2 s.
- C) 3 s.
- D) 4 s.
- E) 5 s.
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Resposta:
A alternativa correta é letra E
Para resolver este problema, vamos escrever a expressão referente ao tempo que o ciclista brasileiro demora para alcançar e assim ultrapassar o ciclista inglês.
v = dx/dt => dx = vdt
Donde v é a velocidade, dx é a distância percorrida e dt é o tempo decorrido.
OBS: Estes dados são referentes ao ciclista inglês.
O tempo decorrido é o mesmo tanto para o brasileiro quanto para o inglês, porém, note que o brasileiro deve percorrer a distância que o inglês percorre no tempo dado, mais a distância de 15 m, que os separa no início. Além do mais, como o brasileiro imprime uma aceleração para fazer a ultrapassagem, temos a seguinte equação:
dx' = v0t + at²/2
Donde dx' é a distância percorrida pelo brasileiro, v0 é a velocidade inicial, t é o tempo decorrido e a é a aceleração.
Como informado acima, temos que a distância que o brasileiro percorre é:
dx' = dx + 15 e dt = t
Logo,
dx + 15 = v0t + at²/2
Substituindo dx pelo seu correspondente, temos:
vt + 15 = v0t + at²/2
Note que v é a velocidade do ciclista inglês.
(22 m/s)t + 15 = (24 m/s)t + (0,4 m/s²)t²/2 => 24t - 22t - 15 + 0,2t² = 0 => 0,2t² + 2t - 15 = 0
Resolvendo por Bhaskara temos:
t =![fraction numerator negative 2 space plus-or-minus thin space square root of 2 ² space minus space 4 asterisk times 0 comma 2 asterisk times left parenthesis negative 15 right parenthesis end root over denominator 2 asterisk times 0 comma 2 end fraction space equals space fraction numerator negative 2 space plus-or-minus space 4 over denominator 2 asterisk times 0 comma 2 end fraction]()
Mas, não faz sentido o tempo ser negativo, logo, o sinal da expressão acima deve ser mais (+), o que implica:
t = (-2 + 4)/0,4 = 5 s
Alternativa E)
v = dx/dt => dx = vdt
Donde v é a velocidade, dx é a distância percorrida e dt é o tempo decorrido.
OBS: Estes dados são referentes ao ciclista inglês.
O tempo decorrido é o mesmo tanto para o brasileiro quanto para o inglês, porém, note que o brasileiro deve percorrer a distância que o inglês percorre no tempo dado, mais a distância de 15 m, que os separa no início. Além do mais, como o brasileiro imprime uma aceleração para fazer a ultrapassagem, temos a seguinte equação:
dx' = v0t + at²/2
Donde dx' é a distância percorrida pelo brasileiro, v0 é a velocidade inicial, t é o tempo decorrido e a é a aceleração.
Como informado acima, temos que a distância que o brasileiro percorre é:
dx' = dx + 15 e dt = t
Logo,
dx + 15 = v0t + at²/2
Substituindo dx pelo seu correspondente, temos:
vt + 15 = v0t + at²/2
Note que v é a velocidade do ciclista inglês.
(22 m/s)t + 15 = (24 m/s)t + (0,4 m/s²)t²/2 => 24t - 22t - 15 + 0,2t² = 0 => 0,2t² + 2t - 15 = 0
Resolvendo por Bhaskara temos:
t =
Mas, não faz sentido o tempo ser negativo, logo, o sinal da expressão acima deve ser mais (+), o que implica:
t = (-2 + 4)/0,4 = 5 s
Alternativa E)
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