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O projeto para um balanço de corda única de um parque de diversões exige que a corda do brinquedo tenha um comprimento de 2,0 m. O projetista tem que escolher a corda adequada para o balanço, a partir de cinco ofertas disponíveis no mercado, cada uma delas com distintas tensões de ruptura. A tabela apresenta essas opções.
Ele tem também que incluir no projeto uma margem de segurança; esse fator de segurança é tipicamente 7, ou seja, o balanço deverá suportar cargas sete vezes a tensão no ponto mais baixo da trajetória. Admitindo que uma pessoa de 60 kg, ao se balançar, parta do repouso, de uma altura de 1,2 m em relação à posição de equilíbrio do balanço, as cordas que poderiam ser adequadas para o projeto são
- A) I, II, III, IV e V.
- B) II, III, IV e V, apenas.
- C) III, IV e V, apenas.
- D) IV e V, apenas.
- E) V, apenas.
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Resposta:
A alternativa correta é letra C
Como o brinquedo está balançando, existe uma velocidade associada a ele. E para calcular tal valor vamos usar a conservação de energia.
No ponto mais baixo da trajetória a energia cinética será máxima, e assim teremos que seu valor é igual a energia potencial máxima, que considerando ser pequenas as oscilações, podemos tomar como a própria altura do brinquedo (1,2 m).
EC = Ug
Donde EC é a energia cinética e Ug é a energia potencial gravitacional.
EC = mv²/2
Donde EC é a energia cinética, m é a massa e v é a velocidade.
Ug = mgh
Donde Ug é a energia potencial gravitacional, m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h é a altura.
mv²/2 = mgh => v²/2 = gh => v = (2gh)^0,5 =>
v = [2*(10 m/s²)*(1,2 m)]^0,5 ≈ 4,9 m/s
Agora, vamos fazer um diagrama de corpo livre da pessoa. No ponto mais baixo, temos a tensão da corda, o peso do indivíduo e uma força centrípeta, que é a resultante. Logo,
Fc = T - P
Donde Fc é a força centrípeta, T é a tensão e P é o peso.
Fc = mv²/R
Donde Fc é a força centrípeta, m é a massa, e v é a velocidade e R é o raio da circunferência que é percorrida pelo brinquedo.
P = mg
Donde P é o peso, m é a massa e g é a aceleração da gravidade.
Fc = T - P => mv²/R = T - mg => T = mv²/R + mg
T = (60 kg)(4,9 m/s)²/(2 m) + (60 kg)(10 m/s²) = 1320 N
Por fim, nos resta multiplicar tal valor por 7, que é a margem de segurança desejada.
7*T = 7*(1320 N) = 9240 N
Logo, temos que as cordas que satisfazem o problema são as de número III, IV e V
Alternativa C)
No ponto mais baixo da trajetória a energia cinética será máxima, e assim teremos que seu valor é igual a energia potencial máxima, que considerando ser pequenas as oscilações, podemos tomar como a própria altura do brinquedo (1,2 m).
EC = Ug
Donde EC é a energia cinética e Ug é a energia potencial gravitacional.
EC = mv²/2
Donde EC é a energia cinética, m é a massa e v é a velocidade.
Ug = mgh
Donde Ug é a energia potencial gravitacional, m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h é a altura.
mv²/2 = mgh => v²/2 = gh => v = (2gh)^0,5 =>
v = [2*(10 m/s²)*(1,2 m)]^0,5 ≈ 4,9 m/s
Agora, vamos fazer um diagrama de corpo livre da pessoa. No ponto mais baixo, temos a tensão da corda, o peso do indivíduo e uma força centrípeta, que é a resultante. Logo,
Fc = T - P
Donde Fc é a força centrípeta, T é a tensão e P é o peso.
Fc = mv²/R
Donde Fc é a força centrípeta, m é a massa, e v é a velocidade e R é o raio da circunferência que é percorrida pelo brinquedo.
P = mg
Donde P é o peso, m é a massa e g é a aceleração da gravidade.
Fc = T - P => mv²/R = T - mg => T = mv²/R + mg
T = (60 kg)(4,9 m/s)²/(2 m) + (60 kg)(10 m/s²) = 1320 N
Por fim, nos resta multiplicar tal valor por 7, que é a margem de segurança desejada.
7*T = 7*(1320 N) = 9240 N
Logo, temos que as cordas que satisfazem o problema são as de número III, IV e V
Alternativa C)
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